連續性與無理數

連續性與無理數，該文的發表使戴德金與康托爾(Cantor, G. (F. P.、外爾斯特拉斯(Weierstrass , K. 實數理論的奠基人。他們的工作是柯西((Cauchy,A.一I_.)等人在這方面工作的繼續。該文中的所謂“戴德金分割”成為今天分析基礎中處理無理數的基本方法之一

早在1858年，戴德金在蘇黎世開設的微積分基礎的講課中，就注意到算術缺少真正嚴格科學的基礎。同年10月24日他成功地得到了一個關於連續的純算術定義，並得到無理數概念的一種精確表述.14年後，他發表了當時思考的結果，便是《連續性與無理數》一文。該篇由序言及7小節組成。戴德金通過序理論，運用“分割”產生無理數，從而將實數追溯到了有理數。第四節是文章的核心，其中，他把有理數全體分為A , A'兩組，把使A中各數都小於A'中的各數的分組稱為一個分割(A,A')，分割的交界處有時是有理數(稱之為有理數產生的分割)，有時就不是有理數。這樣有理數全體就是有空隙的、非連續的。但如果把直線分成兩部分時，就不會出現這種情形，因為直線上的分割總是以直線上的一點為分界點。戴德金是把直線的這一性質作為直線的連續性公理而確認的。換句話說，他把實數看成了是有序的連續統。因此，他重新定義了無理數。他寫道:“現在，當有一分割(A , A')不是由有理數產生時，對每一種這樣的情形，我們就產生了一個新的無理數a，我們認為a是完全由這一分割決定的。我們將說該數a對應於這一分割，或它產生了這一分割.”如此就把由有理數作成的分割(A , A')所得到的每一個數稱為實數。之後，他證明了這樣得到的實數具有和直線相同的連續性，並且給出了四則運演演算法則。最後他據此提出了構築微積分學基礎的方向.

戴德金的方法已成為處理實數系統的一種經典方法，有時他也被稱為是現代的歐多克索斯(Eu-doxua,(C))，因為歐多克索斯曾提出一種比例論來處理無理數，但戴德金關於所有分割以及產生它們的實數都存在的公設是不能在歐幾里得(Euclid)或歐多克索斯那裡發現的，因而僅憑歐氏原理是不能建立完善的實數理論的。但另一方面，通過戴德金的無理數理論就能得到連續域的完善模型.