流形

流形在數學中用於描述幾何形體，它們提供了研究可微性的最自然的舞台。物理上，經典力學的相空間和構造的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。他們也用於位形空間（configurationspace)。環面(torus)就是雙擺的位形空間。

如果把幾何形體的拓撲結構看作是完全柔軟的，因為所有變形(同胚)會保持拓撲結構不變，而把解析簇看作是硬的，因為整體的結構都是固定的(譬如一個1維多項式，如果你知道區間的取值，則整個實屬範圍的值都是固定的，局部的擾動會導致全局的變化)，那麼我們可以把光滑流形看作是介於兩者之間的形體，其無窮小的結構是硬的，而整體結構是軟的。這也許是中文譯名流形的原因(整體的形態可以流動)，該譯名由著名數學家和數學教育學家江澤涵引入。這樣，流形的硬度使它能夠容納微分結構，而它的軟度使得它可以作為很多需要獨立的局部擾動的數學和物理上的模型。

流形可以視為近看起來象歐氏空間或其他相對簡單的空間的物體。例如，人們曾經以為地球是平坦的，因為我們相對於地球很小，這是一個可以理解的假象。所以，一個理想的數學上的球在足夠小的區域也象一個平面，這使它成為一個流形。但是球和平面有很不相同的整體結構：如果你在球面上沿一個固定方向走，你最終回到起點，而在一個平面上，你可以一直走下去。

一個曲面是二維的。但是，流形可以有任意維度。其他的例子有，一根線的圈(一維的)以及三維空間中的所有旋轉(三維的)。旋轉所組成的空間的例子表明流形可以是一個抽象空間。流形的技術使得我們能夠獨立的考慮這些對象，從某種意義上來講，我們可以有一個不依賴於任何其他空間的球。

局部的簡單性是一個很強的要求。例如，我們不能在球上吊一個線並把這個整體叫做一個流形；包含把線粘在球上的那一點的區域都不是簡單的—既不是線也不是面—無論這個區域有多小。

我們用收集在地圖集中的平的地圖在地球上航行。類似的，我們可以用在數學圖集中的數學地圖(稱為坐標圖)來描述一個流形。通常不可能用一張圖來描述整個流形，這是因為流形和建造它的模型所用的簡單空間在全局結構上的差異。當使用多張圖來覆蓋流形的時候，我們必須注意它們重疊的區域，因為這些重疊包含了整體結構的信息。

有很多不同種類的流形。最簡單的是拓撲流形，它們局部看來像歐氏空間。其他的變種包含了它們在使用中所需要的額外的結構。例如，一個微分流形不僅支持拓撲，而且要支持微積分。黎曼流形的思想導致了廣義相對論的數學基礎，使得人們能夠用曲率來描述時空。

圓是除歐氏空間外的拓撲流形的最簡單的例子。讓我們考慮，例如一個半徑為1，圓心在原點的圓。若x 和y是圓上的點的坐標，則我們有.

局部看來，圓像一條線，而線是一維的。換句話說，我們只要一個坐標就可以在局部描述一個圓。例如，圓的上半部，y-坐標在那裡是正的(右圖中黃色的部分)。那個部分任何一點都可以用x-坐標確定。所以，存在雙射，它通過簡單的投影到第一個坐標(x)將圓的黃色部分映射到開區間：

這樣的一個函數稱為圖(chart)。類似的，下半部（紅），左半部（藍），右半部（綠）也有圖。合起來，這些部分覆蓋了整個圓，我們稱這四個圖組成一個該圓的圖集(atlas)。

注意上部和右部的圖的重疊部分。它們的交集位於圓上x和y坐標都是正的四分之一弧上。兩個圖 和 將這部分雙射到區間。這樣我們有個函數T 從到它自己，首先取黃色圖的逆到達圓上再通過綠圖回到該區間:這樣的函數稱為變換映射(坐標變換).

上，下，左，右的坐標圖表明園圈是一個流形，但它們不是唯一可能的圖集。坐標圖不必是幾何射影，而圖的數量也可以有某種選擇。考慮坐標圖和這裡s是穿過坐標為的可變點和固定的中心點的線的斜率; t是鏡像對稱，其中心點為。從s到(x,y)的逆映射為

我們很容易確認 對於所有斜率值s成立。這兩個圖提供了圓圈的又一個圖集，其變換函數為

注意每個圖都缺了一點，對於s是，對於t是，所以每個圖不能獨自覆蓋整個圓圈。利用拓撲學的工具，我們可以證明沒有單個的圖可以覆蓋整個圓圈；在這個簡單的例子里，我們已經需要用到流形可以擁有多個坐標圖的靈活性。

流形不必連通(整個只有一片);這樣，一對分離的圓圈可以是一個拓撲流形。它們不必是閉的；所以不帶兩個端點的線段也是流形。它們也不必有限；這樣拋物線也是一個拓撲流形。把這些自由選擇加起來，兩個另外的拓撲流形的例子有雙曲線和三次曲線上的點的軌跡。

但是，我們排除了向兩個相切的圓(它們共享一點並形成8字形)的例子；在切點我們無法創建一個滿意的到一維歐氏空間的坐標圖。(我們可以在代數幾何中用另一種觀點來看，在那裡我們考慮四次曲線 上的複數點，其實數點構成一對在原點相切的一對圓。

從微積分的觀點來看，圓的變換函數T只是開區間之間的函數，所以我們知道它意味著T是可微的。事實上，T在(0, 1)可微而且對於其他變換函數也是一樣。所以，這個圖集把圓圈變成可微流形。

坐標圖(chart)

一個流形的一個坐標映射，坐標圖，或簡稱圖是一個在流形的一個子集和一個簡單空間之間的雙射，使得該映射及其逆都保持所要的結構。對於拓撲流形，該簡單空間是某個歐氏空間而我們感興趣的是其拓撲結構。這個結構被同胚保持，也就是可逆的在兩個方向都連續的映射。

圖對於計算極其重要，因為它使得計算可以在簡單空間進行，再把結果傳迴流形。

例如極坐標，是一個除了負x軸和原點之外的圖。

圖集

多數流形的表述需要多於一個的圖(只有最簡單的流形只用一個圖)。覆蓋流形的一個特定的圖的集合稱為一個圖集。圖集不是唯一的，因為所有流形可以被不同的圖的組合用很多方式覆蓋。

包含所有和給定圖集相一致的圖的圖集稱為極大圖集。不像普通的圖集，極大圖集是唯一的。雖然可能在定義中有用，這個對象非常抽象，通常不直接使用(例如，在計算中)。

變換映射

圖集中的圖通常會互相重疊，而流形中的一個點可能會被好幾個圖所表示。如果兩個圖重疊，它們的部分會表示流形的同一個區域。這些部分之間的關聯代表流形上同一點的坐標點的映射，譬如上面圓圈例子中的映射T，稱為坐標變換，變換函數，或者轉換函數，轉換映射。

附加的結構

圖集也可用於定義流形上的附加結構。結構首先在每個圖上分別定義。如果所有變換映射和這個結構相容，該結構就可以轉到流形上。

這是微分流形的標準定義方式。如果圖集的變換映射對於一個拓撲流形保持Rn自然的微分結構(也就是說，如果它們是微分同胚)，該微分結構就傳到了流形上並把它變成微分流形。

通常，流形的結構依賴於圖集，但有時不同的圖集給出相同的結構。這樣的圖集稱為相容的。

一個流形可以以不同方式構造，每個方式強調了流形的一個方面，因而導致了不同的觀點。

圖集

可能最簡單的構造一個流形的方法是在上面的例子中的圓圈的構造方法。首先，確認的一個子集，然後覆蓋這個自己的圖冊被構造出來。流形的概念歷史上就是從這樣的構造發展出來的。這裡有另一個例子，把這個方法應用在球面的構造上:

帶圖冊的球面

球面的表面可以幾乎和圓圈一樣的方法來處理。我們把球面視作的子集:

球面是二維的，所以每個坐標圖將映射球面的一部分到一個 的開子集。例如考慮北半球，它是帶正z坐標的部分。(在右圖中它著紅色)定義如下的函數χ

把北半球映射到開單位圓盤，通過把它投影到平面。類似的坐標圖對南半球也存在。和投影到平面的兩個坐標圖以及投影到平面的兩個坐標圖一起，我們得到了一個覆蓋整個球面的含6個坐標圖的圖冊。

這可以很容易地擴展到高維的球面。

貼補

流形可以通過把碎片以一種相容的方式粘合來構造，使得碎片成為互相覆蓋的坐標圖。這種構造對於任何流形都是可行的，所以經常作為流形的表述，特別是微分和黎曼流形。它集中於圖冊的構造，把流形作為坐標圖所自然的提供的貼片，因為不涉及外部的空間，這導致了流形的內在的觀點。

這裡，流形通過給定圖冊來構造，圖冊通過定義轉換映射來得到。流形的一個點因而是指通過變換映射映到同一個點的坐標點的等價類。坐標圖把等價類映射到一個貼片上的點。通常會對變換映射有很強的一致性要求。對於拓撲流形，它們被要求為同胚；如果它們也是微分同胚，最後得到的流形就是微分流形。

這可以通過變換映射圓圈例子的第二部分中的來解釋。從直線的兩個拷貝開始。第一個拷貝用坐標s，第二個拷貝用t。現在，通過把第二個拷貝上的點t和第一個拷貝上的點1⁄s作為同一個點來粘合起來(點不和任何第一個拷貝上的點認同)。這就給出了一個圓圈。

內在和外在的觀點

第一種構造和這種構造非常相似，但是他們代表了相當不同的觀點。在第一種構造中，流形被視為嵌入到某個歐氏空間中。這是外在的觀點。當一個流形用這種方式來看的時候，它很容易通過直覺從歐氏空間得倒附加的結構。例如，在歐氏空間，很明顯某個點的一個向量是否和穿過該點的曲面相切或者垂直。

貼補構造不用任何嵌入，只是簡單把流形看作拓撲空間本身。這個抽象的觀點稱為內在的觀點。這使得什麼是切向量更難以想象。但是它表達了流形的本質，在計算上來講，這使我們避免了使用更高的維度，例如我們只要二維而不是三維就可以作球面上的計算。

作為貼補的n維球面

n維球面可以通過粘合的兩個拷貝來構造。他們之間的變換函數定義為

這個函數是它自身的逆，因而可以在兩個方向使用。因為變換映射是一個光滑函數，這個圖冊定義了一個光滑流形。

如果我們取 我們就得倒了上面圓圈的例子。

函數的零點

很多流形可以定義為某個函數的零點集。這個構造自然的把流形嵌入一個歐氏空間，因而導向一個外在的觀點。這很形象，但不幸的是不是每個流形都可以這樣表示。

如果一個可微函數的雅戈比矩陣在函數為0的每一點是滿秩的，則根據隱函數定理，每個這樣的點周圍存在一個為0的領域微分同胚於一個歐氏空間。因此零點集是一個流形。

作為一個函數零點的n維球面

n維球面Sn經常定義為

這等價為如下函數的零點

這個函數的雅戈比矩陣是

它的秩對於除了原點的所有點為1(對於矩陣就是滿秩的)。這證明n維球面是一個微分流形。

認同一個流形上的不同點

可以把流形上的不同點定義為相同。這可以視為把不同的點粘合為同一個點。結果經常不是流形，但在有些情況下是流形。

這些情況下，認同過程是用群來完成的，這是作用在流形上的群。兩個點被視為同一個如果一個能被該群的一個元素移動到另一個上面。如果M是該流形而G是該群，結果空間稱為商空間，並記為。可以通過認同點來構造的流形包括環面和實射影空間(分別從一個平面和一個球面開始)。

直積

流形的直積也是流形。但不是每個流形都是一個積。

積流形的維度是其因子的維度之和。其拓撲是乘積拓撲，而坐標圖的直積是積流形的坐標圖。這樣，積流形的圖冊可以用其因子的圖冊構造。如果這些圖冊定義了因子上的微分結構，相應的積圖冊定義了積流形上的一個微分結構。因子上定義的其他結構也可以同樣處理。如果一個因子有一個邊界，積流形也有邊界。直積可以用來構造環面和有限圓柱面，例如，分別定義它們為和。

沿邊界粘合

兩個帶邊界的流形可以沿著邊界粘合。如果用正確的方式完成，結果也是流形。類似的，一個流形的兩個邊界也可以粘合起來。

形式化的，粘合可以定義為兩個邊界的一個雙射。兩個點被認同為一個，如果它們互相映射到對方。對於一個拓撲流形，這個雙射必須是同胚，否則結果就不是拓撲流形。類似的，對於一個微分流形，它必須是微分同胚。對於其它流形，其他的結構必須被這個雙射所保持。

有限的圓柱面可以作為一個流形構造，先從一個長條開始，然後把對邊通過適當的微分同胚粘合起來。克萊因瓶可以一個帶孔的球面和一個莫比烏斯帶沿著各自的圓形邊界粘合起來得倒。

最容易定義的流形是拓撲流形，它局部看起來象一些“普通”的歐氏空間Rn。形式化的講，一個拓撲流形是一個局部同胚於一個歐氏空間的拓撲空間。這表示每個點有一個領域，將它映射到Rn。這些同胚是流形的坐標圖。

通常附加的技術性假設被加在該拓撲空間上，以排除病態的情形。可以根據需要要求空間是豪斯多夫的並且第二可數。這表示下面所述的有兩個原點的直線不是拓撲流形，因為它不是豪斯朵夫的。

流形在某一點的維度就是該點映射到的歐氏空間圖的維度(定義中的數字n)。連通流形中的所有點有相同的維度。有些作者要求拓撲流形的所有的圖映射到同一歐氏空間。這種情況下，拓撲空間有一個拓撲不變數，也就是它的維度。

一類拓撲空間。除具有通常的拓撲結構外，還添上了微分結構。微分幾何學的研究是建立在微分流形上的。三維歐氏空間R3中的曲面是二維的微分流形，但微分流形的概念遠比這廣泛得多，非但維數不限於二維，而且流形也不必作為n維歐氏空間Rn中的曲面來定義。此外，一般微分流形也不一定有距離的概念。

微分流行很容易定義拓撲流形，但是很難在它們上面工作。對於多數應用，拓撲流形的一種，'微分流形比較好用。如果流形上的局部坐標圖以某種形式相容，就可以在該流形上討論方向，切空間，和可微函數。特別是，可以在微分流形上應用“微積分”。

考慮一個拓撲流形，其坐標圖映射到Rn。給定一個Rn的有序基，坐標圖就給它所覆蓋的流形的一片引入了一個方向，我們可以視為或者右手或者左手的。重疊的坐標圖不要求在方向上一致，這給了流形一個重要的自由度。對於某些流形，譬如球面，我們可以選取一些坐標圖使得重疊區域在“手性”上一致；這些流形稱為“可定向”的。對於其它的流形，這不可能做到。後面這種可能性容易被忽視，因為任何在三維空間中(不自交的)嵌入的閉曲面都是可定向的。

我們考慮三個例子：(1)莫比烏斯帶，它是有邊界的流形，(2)克萊因瓶，它在三維空間必須自交，以及(3)實射影平面，它很自然的出現在幾何學中。

莫比烏斯帶

從一個豎著的無限圓柱面開始，這是一個無邊界的流形。在高和低的地方各剪一刀，產生兩個圓形邊界，和它們之間的一個圓形的帶子。這是一個帶邊界的可定向流形，我們在它上面動一個小“手術”。把帶子剪開，使得它能展開成一個矩形，但把兩頭捏住。把其中一頭轉，把內面翻倒朝外，然後把兩頭無縫的粘回來。現在我們有了一個永久半翻轉的帶子，就是莫比烏斯帶。它的邊界不再是一對圓圈，而是(拓撲上)單個圓圈；曾經是“內面”的現在和“外面”並了起來，使得它只有“單”面。

克萊因瓶

取兩個莫比烏斯帶；每個都以一個圈為邊界。把每個圈拉成一個圓圈，並把帶子變成交叉帽(cross-cap)。(注意這在三維空間物理上是不可能的；克萊因瓶不能放到三維空間中，就像莫比烏斯帶(或者球面)不能放在平面上一樣。實際建造一個克萊因瓶必需在至少四維的空間進行)把圓圈粘合起來會產生一個新的閉合流形，沒有邊界的克萊因瓶。把曲面閉合起來並不能改變不可定向性，它只是移除了邊界。這樣克萊因瓶就成了一個不能分辨內外的閉合曲面。

實射影平面

從圓心為原點的球面開始。穿過原點的每條直線在兩個相對的點穿透球面。雖然不能物理上這麼做，但是在數學上可以把相對點合併為同一點。這樣產生的閉合曲面是實射影平面，又一個不可定向曲面。它有一些等價的表述和構造，但是這個方法揭示了它的名字：所有給定的穿過原點的直線射影到該“平面”的一個“點”。

兩個原點的線

我們在這裡給出一個空間的例子，它滿足拓撲流形所有的條件，除了它不是豪斯多夫空間(Hausdorff space)。取兩個R的拷貝，把它們寫作

and

並定義如下等價關係

if

從這個等價關係得到的商空間L是一個象實直線那樣的空間，除了有兩個點"佔據"了原點。特別的是，它們不能被不交的開集所分離，所以L不是豪斯朵夫的。它是一個拓撲流形，但不是豪斯多夫拓撲流形。

經常，拓撲流形被定義為必須是豪斯多夫的，在這個定義下，上面的例子不是流形。

要在流形上研究幾何，通常必須用附加的結構來裝飾這些空間，例如上面的微分流形所加入的微分結構。根據所需要的不同的幾何，有許多其它的可能性：

複流形：複流形是建模在上的流形，在坐標圖的重疊處以全純函數為變換函數。這些流形是復幾何研究的基本對象。一個一維複流形稱為黎曼曲面。

巴拿赫和Fréchet流形：要允許無窮維，可以考慮巴拿赫流形，它局部同胚於巴拿赫空間。類似的，Fréchet流形局部同胚於Fréchetspace。

軌形(Orbifolds)：一個軌形是流形的推廣，允許某種"奇異點"在其拓撲中存在。大致來講，它是局部看起來像一些簡單空間(例如，歐氏空間)通過各種有限群的群作用的商。奇點對應於群作用的不動點，而作用必須在某種意義下相容。

代數簇和概形(Algebraicvarietiesandschemes) ：一個代數簇是幾個仿射代數簇粘起來得到的，仿射代數簇是在代數封閉的域上多項式的零點集。類似的，概形是仿射概形粘起來得到的，而仿射概形是代數簇的一個推廣。二者都和流形相關，但都使用層而非坐標圖集來構造。

第一個清楚地把曲線和曲面本身構想為空間的可能是高斯，他以他的theoremaegregium('高斯絕妙定理')建立了內在的微分幾何。

黎曼是第一個廣泛的展開真正需要把流形推廣到高維的工作的人。流形的名字來自黎曼原來的德語術語Mannigfaltigkeit,WilliamKingdonClifford把它翻譯為“manifoldness”（多層)。在他的格丁根就職演說中，黎曼表明一個屬性可以取的所有值組成一個Mannigfaltigkeit。他根據值的變化連續與否對stetigeMannigfaltigkeit和離散[sic]Mannigfaltigkeit(連續流形和不連續流形)作了區分。作為stetigeMannigfaltikeiten的例子，他提到了物體顏色和在空間中的位置，以及一個空間形體的可能形狀。他把一個nfachausgedehnteMannigfaltigkeit(n次擴展的或n-維流形)構造為一個連續的(n-1)fachausgedehnteMannigfaltigkeiten堆。黎曼直覺上的Mannigfaltigkeit概念發展為今天形式化的流形。黎曼流形和黎曼曲面以他的名字命名。

交換簇的概念在黎曼的時代已經被隱含的作為複流形使用。拉格朗日力學和哈密爾頓力學，從幾何方面考慮，本質上也是流形理論。

龐加萊研究了三維流形，並提出一個問題，就是現在所謂的龐加萊猜想：所有閉簡單連通的三維流形同胚於3維球嗎？這個問題已被GrigoriPerelman解決。

HermannWeyl在1912年給出了微分流形的一個內在的定義。該課題的基礎性方面在1930年代被HasslerWhitney等人運用從19世紀下半葉就開始發展的精確的直覺理清，並通過微分幾何和李群理論得到了發展。

坐標轉換豪斯多夫空間坐標鄰域歐氏空間代數簇概形有序基曲面3-流形4-流形拉格朗日力學哈密爾頓力學離散黎曼曲面莫比烏斯帶。

n維流形的概念，在J.L.Lagrange的力學中已經初見端倪，十九世紀中期，已經知道n維Euclid空間是n個實變數的連續統，但是一般n維流形的概念是B.Riemann研究微分幾何學時引進的，他是用歸納法進行構造的。正如曲線的運動形成曲面一樣，n維流形是把無限多個維流形按照一維流形方式放在一起而形成的。流形的拓撲結構的研究與其局部理論的研究是同時開始的，Riemann、E.Betti、H.Poincaré等人應用的是解析方法，但是，Poincaré為了擺脫這種方法的困難與不利之處，將n維流形定義為一種連通的拓撲空間，其中每一點都具有和n維Euclid空間同胚的鄰域，並對之進行研究，從而開闢了組合拓撲學的道路。

在n維歐幾里得空間中，由定義的半空間用表示。豪斯多夫空間M，當每點p具有與或同胚的開鄰域U(p)時，稱為n維拓撲流形。（同胚）的點p的全體∂M稱為流形M的邊緣，其補集稱為M的內部，的流形稱為無邊緣流形。

n維流形M的邊緣∂M是n-1維無邊緣流形。緊的無邊緣的連通流形稱為閉流形，非緊的無邊緣的連通流形稱為開流形。存在連通的但非仿緊的拓撲流形。一維的這種流形稱為長直線。 

圓周是除歐氏空間外最簡單的流形。讓我們考慮二維平面內一個半徑為1，圓心在原點的圓（單位圓）。若x和y是平面上的歐式坐標，那麼單位圓的方程就是。

局部坐標卡

單位圓的任意一點附近的一小段都像一條線。而線是一維的圖形，我們只要一個坐標就可以標記這一小段上的一個點。例如單位圓在x軸上方的半圓上的任何一點都可以用x坐標確定。所以，存在雙射，它通過簡單的投影到第一個坐標(x)將圓的黃色部分映射到開區間：。

這樣的一個函數稱為一個局部坐標卡（local coordinate chart）。類似的，單位圓的下半圓，左半圓，右半圓上也有相應的坐標卡。這四個半圓可以覆蓋整個單位圓，我們稱對應的四個局部坐標卡組成這個單位圓的一個坐標圖集（atlas）。

坐標圖集

上面這四個坐標卡和它們之間的坐標變換說明單位圓是一個流形。但在單位圓上還可以有其他的坐標卡和坐標圖集。考慮坐標卡 和。這裡s是穿過坐標為(x,y)的可變點和固定的中心點(−1,0)的線的斜率；t是鏡像對稱，其中心點為(1,0)。s到(x,y)的逆映射為。

我們很容易確認對於所有斜率值s成立。這兩個坐標卡提供了圓周的又一個圖集，其變換函數為。

注意每個坐標卡都缺了一點，對於s是(−1,0)，對於t是(+1,0)，所以每個坐標卡不能獨自覆蓋整個單位圓。利用拓撲學的工具，我們可以證明沒有單個的坐標卡可以覆蓋整個單位圓；在這個簡單的例子里，我們已經需要用到流形可以擁有多個坐標圖的靈活性。

流形反例

流形不必是連通的（整個只有一片），所以兩個不相交的圓周也是一個拓撲流形。流形不必是閉的，所以不帶兩個端點的線段也是流形。流形也不必有限，所以拋物線這樣的圖形也是一個拓撲流形。

但是，我們排除了向兩個相切的圓（它們共享一點並形成8字形）的例子；切點的附近任意小的一部分都不同胚於歐式空間的任何一個開集。 

拓撲流形：拓撲流形為最容易定義的流形，它局部看起來象一些“普通”的歐氏空間。形式化的講，一個拓撲流形是一個局部同胚於一個歐氏空間（或上半歐式空間）的拓撲空間。這表示每個點有一個鄰域，它有一個同胚(連續雙射其逆也連續)將它映射到（）。這些同胚是流形的坐標圖。

微分流形：微分流形也稱為光滑流形，是拓撲學和幾何學中一類重要的空間，是帶有微分結構的拓撲流形。 微分流形是微分幾何與微分拓撲的主要研究對象，是三維歐式空間中曲線和曲面概念的推廣，可以有更高的維數，而不必有距離和度量的概念。