理論流行病學

理論流行病學（theoretical epidemiology）又稱流行病學數學模型（mathematical model），它使用數學公式明確地和定量地表達病因、宿主和環境之間構成的疾病流行規律，同時從理論上探討不同防制措施的效應。

流行病學數學模型廣泛應用於流行病學研究的各個領域，按照其研究內容、目的、用途模型大致可分為三類：

1、研究疾病流行特徵的模型

疾病的流行特徵主要包括疾病的流行過程、人群、時間、空間的分佈等，歷史上第一個流行病學數學模型的研究就是從研究流行特徵開始，即Ross建立瘧疾的傳播模型。

流行過程：研究疾病的流行過程是流行病學研究的主要內容之一，早期的研究以定性為主，數學模型引入流行病學領域后，為定量研究提供了研究工具。從所研究疾病的性質上可分為對傳染病的研究和慢性非傳染病的研究，分別有針對傳染病的Reed-Frost模型、流行病學閾模型、瘧疾模型等和研究非傳染病的腫瘤模型等。

2、用於疾病預測的模型

3、用於效果評價的數學模型

催化模型：

簡單催化模型………可逆催化模型

兩極催化模型………複合催化模型

連續時間模型 :時間序列模型

離散時間模型: Markov模型

離散性頻率模型 : 二項分佈、Poisson分佈、負二項分佈、超幾何分佈

腫瘤模型

瘧疾數學模型

流行病學閾模型

流行病學數學模型是用以反映流行規律性的數學式。它以各種符號代表各項因素，將疾病的規律性用數學式表達出來。這種數學式不僅能概括病因、宿主和環境之間的關係，並能顯示其量的動態關係。因此，建模前必須對所要研究的疾病的流行過程理論有深刻的了解，基本掌握與流行有關的各因素及彼此之間的關係，明確建立模型的目的。以實際流行過程資料對模型涉及到的參數進行恰當的估計，初步建立一個或數個模型，再將模型計算出的理論曲線與現場資料進行擬合，如果差異甚大，說明理論假設不合理，應修改模型的結構；如果曲線特徵相符，只是數量有差異，則可能是參數估計不準確，應調整模型參數值；經反覆修正，直至模型所計算出的理論值能夠符合實際的流行過程，才可稱建模完成。建立一個流行病學數學模型，通常需經過以下幾步：

1、假設模型所描述疾病的類型條件及特徵，如疾病的性質、種類、傳播方式及群體狀態等。

2、做出必要的模型假設，確定模型結構中的主要因素，這是建模的出發點和基礎。如傳染病病人數、易感者數、免疫者數等，數學模型不是包羅萬象的描述，而是對流行過程的特徵概括，因此與疾病流行有重要關係的因素組成模型的基本結構，而次要因素則可暫不予考慮。

3、確定流行病學等級狀態及不同狀態之間的轉化關係，即模型的重要參數，一般可以從以往流行過程的經驗估計而得。

4、按照建模目的，根據所做假設，利用所掌握的資料和必要的數學手段，建立初步模型。根據實際流行病學資料分析的經驗或/和其他理論，確定模型結構中諸要素的相互關係，組成一數學公式。

5、配合實際資料，酌情修改模型結構，或改變參數估計值，重新擬合，直到接近於實際。

Reed-Frost模型是經典的流行病學數學模型，根據流行病學條件的不同，該模型分為確定性和隨機性兩種。Reed-Frost模型引入了傳染病數學模型中最重要的參數：接觸率，它是影響疾病發生髮展的一系列複雜因素綜合作用的結果。在確定性模型中接觸率是固定的，而在隨機性模型中它隨時間的變化而改變，是一個變數。Reed-Frost模型的應用條件是S-I-R型傳染病在封閉人群中傳播。

Reed（Lowell J Reed）和Frost（Wade Hampton Frost）是兩位美國的流行病學教授。他們最早製作了本模型並用於教學。本模型較為簡單，在流行病學教學中也應用較廣。他們認為某些借空氣飛沫傳播的急性呼吸道傳染病如麻疹、水痘，傳染期較短，近乎點傳染，潛伏期近乎恆定；因此如果在一個與外界基本隔絕的封閉的有眾多易感者的集體中發生了一例病例后，將在這個集體中連續按批（代）出現新病例。每批發生的新病例數，在一定條件下估計應呈二項分佈，其分佈可以按上一批易感者及感染者的數量、以及該集體中各個體間的有效接觸率的大小用公式估算出來。

1、所研究的人群 是一個與外界完全隔絕的封閉人群。

2、所描述的疾病是某些經空氣飛沫傳播的急性呼吸道傳染病，傳染期較短，潛伏期恆定，而且直接由人傳人，毋需其它媒介參與，續發病例以明顯的“代”出現。

3、固定的有效接觸率 該人群中每個人在單位時間內與其他個體相互交往發生有效接觸的概率不變，且對於人群中任何個體都是一樣的。

4、易感者的轉歸 任何一個易感者與一個感染者在其傳染期內發生有效接觸后就獲得感染，並在下一個傳染期內感染其他易感者，病後可獲得免疫，轉為不易感者。

S(t)是在第t代的易感者；S(t+1)是在第（t+1）代的易感者。C(t)是在第t代的病例及傳染者；C (t+1)是在第（t+1）代的病例者及傳染者。

I(t)是在第t代的免疫者；I (t+1)是在第（t+1）代的免疫者。

S(t)易感者接觸病例（傳染源）之後，在（t+1）代成為病例C (t+1)，而後者又在下一代（t+2）成為無傳染性的免疫者。

C (t+1)=P0·Ct·St

是指下一代將發生的病例數為有效接觸率P0與t代的病例數和t代的易感者人數的乘積。其中P0與易感者的密度、衛生條件、氣候因素、交往頻度、接觸方式等有關，是眾多因素綜合后的總概率。

數學模型是理論流行病學的主要研究手段。模型是在已知流行過程理論基礎上建立起來的；但反過來，在建立模型過程中，由於包含以實際檢驗理論的全部過程，因此模型又幫助我們對流行過程理論的認識更完備、更深入。在模型建立后對某病過去資料的分析及將來發展趨勢的模擬可獲得該病的傳播機制及有關參數；這就具有重要的理論及實際價值。此外，我們可以改變各種參量，如易感者數多少，潛隱期的長短、傳染率的大小、傳染期的長短等進行模擬，從而獲得不同參數下的不同流行面貌，這就從多方面發展了流行過程理論。但我們也應認識到理論流行病學在實際工作中的局限性，不可片面誇大其作用。在實際工作中，其應用是較有限的。

模型的定量研究的好處是在實驗室可以將自然人群流行因素改變的各種可能性表現出來，而且可以重複試驗，深入探討，最後做出判斷。用已建立的模型配合一系列不同情況下的實際流行資料，從而獲得不同條件下某主要參量（如p）的不同值。如地區不同、人口的年齡構成、文化水平、生活習慣不同或時間、季節不同，則某病的流行規模、流行面貌、流行強度以及年齡分佈等也不同。比如，我們可用催化模型擬合實際資料的辦法估計不同時期、不同地點、或干預措施前後傳染力（h）的不同。近年來隨著計算機技術的廣泛應用，數學理論不斷發展和流行病學知識日新月異，流行病學數學模型亦更為多樣，由簡單到綜合，可容納的因素數增多，使我們有可能對更多流行因素及其效應作定量分析，大大增加了研究的實用性。流行病學研究從傳統的經驗性發展到理論性，即以研究設計和數據分析來研究疾病流行的規律性，在這個大趨勢中，數學模型已經成為不可缺少的手段和工具。

設計控制疾病的方案，模型建立后，我們可用目標人群的一些基本數據模擬出某病在該目標人群中的自然過程，並令其達到動態穩定狀態，然後將一些經過深思熟慮的控制措施輸入模型，觀察各可能出現的結果，然後權衡消費和效果及收益的得失作出選擇。模型的好處是將在實驗室內不可能出現的人群中自然的流行過程，在計算機的熒屏上重現了，不僅重現而且可以反覆出現，這就可重複試驗的結果，從而可進行深入分析比較，最後作出抉擇。控制方案的評價，當經模型模擬后採用的措施方案於現場實施后，其結果可借模型來評價之。如模型所模擬的措施結果，即預期的控制效果同實際現場所得的結果有一定的距離，並向我們揭示措施失敗的一些可能的重要原因：如對高度受暴露人群的保護不夠、疫苗或藥物質量欠佳，或控制措施實施不及時、不全面等。當然，也可能原模型有問題需改進。模型建立后這種評價可常規地進行，這不僅是因為流行病學情況常隨時間而變化，因而需不時調整參量，而且消費及收益分析亦因時間而異，且措施也在不斷更新和改進，更需對新措施作出評價。除了評價各種防疫方案的流行病學效果外，我們還必須評價防疫方案的衛生經濟學效益，然後綜合判斷。市場經濟體制下的流行病學實踐一定要比較各種防疫方案，充分考慮優選疾病控制的策略。權衡措施所耗用的經費及降低發病率和死亡率所帶給人群的健康效果，才能充分評定各項措施的實際效果。在這方面數學模型研究起著不可替代的作用，有廣闊的應用前景。

模型的建立過程就是以實際資料檢驗理論正確性和準確性的過程，因此，一個成功的模型能夠幫助我們對流行過程理論的認識更加完備，更加深入。例如，可以用已建立的模型配合不同情況下的實際流行資料，觀察不同地區、時間、各種人口年齡構成以及文化水平、社會經濟地位等各異的群體中，某病的流行規模、流行速度和強度、流行轉歸等表現。在上述水痘流行的數學模型中，我們可以看到水痘流行有一種“自限”的趨勢，即當易感者比例降到一定程度后，水痘流行就趨於中止，這就使我們能深入探討水痘傳播機制中免疫因素的作用。此外，我們還可以改變模型中各種參數，如易感者比例、潛伏期和傳染期的長短、傳染力的大小，有效接觸率的多少等等，從而獲得不同參數下的各種流行動力學過程。

利用數學模型可在教室里、計算機上再現各種疾病在人群中的流行過程，生動地闡明重要的流行因素在傳播機制及流行動力學中的作用，並通過改變重要的參數值來觀察這些因素在流行過程中的效應；也可以使學生在嚴格定量的意義上正確而有預見性地判斷各項可供選擇預防措施的效果，對之做出正確和精確全面的而且有預見性的評價；還能夠提供學生對某病的各種病因假設進行評價，並利用現場資料做驗證、擬合及檢驗。這都是對學生很好的培訓。最早應用數學模型於教學的是Reed和Frost，在美國John Hopkins大學，他們用一機械模型說明某種傳染病的逐代流行過程。

隨著流行病學資料的日益豐富，模型發展的不斷完美，多媒體課件的迅速翻新，21世紀定會有更多的機會將更多的疾病防制的實際經驗上升為理論，將之模型化，從而指導防制疾病的實踐，而且會有更新的數學方法滲入流行病學，為流行學理論和實踐的發展服務。雖然到目前為止尚無一模型真正對控制或消滅某病起了決定性的作用，但已看到它在發揮愈來愈大的作用，至少在對各病流行過程基本理論的認識上已成為一重要工具，而在措施的篩選和評價上它幾乎是不可缺的。