典型域上的多元複變函數論

受中國科學院院長郭沫若的邀請，1952年7月，華羅庚開始籌建數學研究所。在數學所成立后，他擔任所長。1955年，國務院通過併發布《中國科學院科學獎金暫行條例》，經各學部的學部委員以無記名投票方式決定了得獎的論著與等次，並經中國科學院科學獎金委員會和院常務會議的審核最後確認，華羅庚以其專著《典型域上的多元複變函數論》獲得1956年度國家自然科學獎一等獎。其實，此書的初稿完成於1954年，正是這份初稿成為華羅庚獲獎的依據。1958年，科學出版社出版了他的《多複變函數論中典型域上的調和分析》一書。

此書一出版就引起了國際上的高度重視。首先是蘇聯科學院Stekkov數學研究所於同年來函要求將此書翻譯成俄文出版。英文版是1963年從俄文版再翻譯成英文，由美國數學會出版的。英文版出版后，受到國際數學界的普遍關注和高度評價，成為研究該領域時必然要引用的書籍。

華羅庚，1910年11月12日出生於江蘇金壇縣。他幼時愛動腦筋，因思考問題過於專心常被同伴們戲稱為“羅獃子”。初中畢業后，華羅庚曾入上海中華職業學校就讀，因拿不出學費而中途退學。此後，他頑強自學，用5年時間學完了高中和大學低年級的全部數學課程。

20歲時，華羅庚以一篇論文轟動數學界，被清華大學請去工作。從1931年起，華羅庚在清華大學邊工作邊學習，用一年半時間學完了數學系全部課程。他自學了英、法、德文，在國外雜誌上發表了3篇論文後，被破格任用為助教。

1936年華羅庚前往英國劍橋大學。在英國的兩年之中，他攻克了許多數學難題。他的一篇關於高斯的論文給他在世界上贏得了聲譽。在抗日戰爭期間，他回到了災難深重的祖國，在昆明的一個吊腳樓上，他寫出了堆壘數論。1946年9月，華羅庚應普林斯頓大學邀請去美國講學，並於1948年被美國伊利諾依大學聘 為終身教授。

新中國成立后，華羅庚放棄在美國的優厚待遇，克服重重困難回到祖國懷抱，投身我國數學科學研究事業。1950年3月，他到達北京，隨後擔任了清華大學數學系主任、中科院數學所所長等職。1956年，他著手籌建中科院計算數學研究所。1958年，他擔任中國科技大學副校長兼數學系主任。

回徠國后短短的幾年中，他在數學領域裡的研究碩果累累：他的論文《典型域上的多元複變函數論》於1957年1月獲國家發明一等獎，並先後出版了中、俄、英文版專著；1957年出版《數論導引》；1963年他和學生萬哲先合寫的《典型群》一書出版……

華羅庚因病左腿殘疾后，走路要左腿先畫一個大圓圈，右腿再邁上一小步。對於這種奇特而費力的步履，他曾幽默地戲稱為“圓與切線的運動”。在逆境中，他頑強地與命運抗爭，他說“我要用健全的頭腦，代替不健全的雙腿”。憑著這種精神，他終於從一個只有初中畢業文憑的青年成長為一代數學大師。他一生碩果累累，是中國解析數論、典型群、矩陣幾何學、自導函數論等方面的研究者和創始人，其著作《堆壘素數論》更成為20世紀數學論著的經典。

由於青年時代受到過“伯樂”的知遇之恩，華羅庚對於人才的培養格外重視，他發現和培養陳景潤的故事更是數學界的一段佳話。在他親自關心和過問下，陳景潤從廈門大學被調到中科院數學研究所，最終在攻克哥德巴赫猜想方面取得了世界領先的成績。此外，萬哲元、陸啟鏗、王元、潘承洞、段學復等人也是在華羅庚的悉心培育下成長起來的。在從事數學理論研究的同時，華羅庚努力嘗試尋找一條數學和工農業實踐相結合的道路。經過一段實踐，他發現數學中的統籌法和優選法是在工農業生產中能夠比較普遍應用的方法，可以提高工作效率，改變工作管理面貌。於是，他一面在科技大學講課，一面帶領學生到工農業實踐中去推廣優選法、統籌法，為工農業生產服務。

晚年的華羅庚不顧年老體衰，仍然奔波在第一線。他還多次應邀赴歐美及香港地區講學，先後被法國南錫大學、美國伊利諾依大學、香港中文大學授予榮譽博士學位，還於1984年以全票當選為美國科學院外籍院士。

2009年9月10日，在中央宣傳部、中央組織部、中央統戰部、中央文獻研究室、中央黨史研究室、民政部、人力資源社會保障部、全國總工會、共青團中央、全國婦聯、解放軍總政治部等11個部門聯合組織的“100位為新中國成立作出突出貢獻的英雄模範人物和100位新中國成立以來感動中國人物”評選活動中，華羅庚被評為“100位新中國成立以來感動中國人物”。

華羅庚對多元複變函數的研究始於40年代抗戰時期。當時的昆明西南聯合大學，條件非常艱苦，華羅庚住在人畜共舍的牛棚樓上。白天日寇飛機經常來轟炸，空襲時華羅庚仍在防空洞里看資料。他想把單復變數的自守函數理論推廣到多元複變函數。有一次日機的炸彈將防空洞炸塌，把他和正在看的書埋在土中，聽說是段學復（現北京大學教授、中國科學院院士）把他和書從泥土中挖出來的。這本書是德文的單復變數自守函數的書。華羅庚這種臨危不懼、專心研究的精神，實為後世科學研究者的楷模。

與此同時，在大洋彼岸的普林斯頓，有一位因不滿法西斯排猶而離開德國的大數學家及天體力學家西格爾，也想把單復變數的自守函數理論推廣到多復變數。由於單復變數的自守函數的主要理論是在單位圓內討論，他們不約而同地考慮與單位圓最相近的有界對稱域上的自守函數理論。在有界對稱域上，多復變數可用矩陣來表示，便於構造自守函數的級數表達及其基本域。此外，單復變數的自守函數論與單位圓的非歐幾何密切相關，所以他們也就不約而同地從研究典型域的幾何開始。西格爾這方面的第一篇文章“辛幾何”1943年發表在《美國數學年刊》，華羅庚的文章“矩陣變數的自守函數論”1944年發表在同一期刊。實際上，兩人差不多是同時投稿，但華羅庚的稿件在二戰時期從昆明寄到美國要歷經幾個月。西格爾後來把注意力轉向天體力學，不過他研究天體力學的方法是源出於他“辛幾何”的文章。辛幾何是現在國際上最熱門的幾何研究方向之一。 1997年獲國家自然科學一等獎的已故院士馮康，曾對筆者說，他關於辛演演算法的工作與西格爾的天體力學及華羅庚發表在《美國數學會集刊》上的文章“在辛群下超圓的分類”有密切關係。戰後西格爾回德，受到德國科學界的高度尊敬。他在60年代寫過三卷“函數論”講義，其中引用華羅庚及其學生的文章有十幾篇之多。

華羅庚戰後去美國，繼續研究多複變函數。他1946年在美國《數學年刊》上發表的文章“多複變函數的自守函數”成為經典著作，為研究自守函數的名家所必引用。多復變數自守函數理論現已發展成為現代數學最重要的研究方向之一。解決費馬大定理的威爾士，曾在Langland的討論班中獲益匪淺。而Langland就是多復變數自守函數的權威人士，他在普林斯頓高等研究所主持的討論班，一直是圍繞著多變數的自守形式（自守函數的推廣）進行。此外，華羅庚在上述文章中引進了一個微分度量，被稱為華羅庚度量。

華羅庚於1950年毅然回國，當時才40歲，正值盛年。新中國成立后的最初十年，是他精力最充沛的十年，主要從事的研究仍然是多複變函數。他的主要工作之一就是多復變數典型域上的調和分析。

富氏分析是最早的調和分析，問世以來在工程與物理領域有廣泛的應用，數學家也進行了深入的研究。人們自然會考慮把富氏分析推廣到多個變數，或者把微分方程推廣為運算元的情形。在實際應用上也有此需要，例如量子力學要考慮運算元特徵值與特徵向量。

在華羅庚之前，富氏分析的推廣多是平行推廣，如考慮多個單位圓周的拓撲積情形，或抽象地證明某些空間的完備正交歸一系的存在。這對實際的應用是遠遠不夠的。如上所述，華羅庚早就認識到單變數的自守函數的推廣是典型域上的自守函數。同樣，他認為單位圓上的調和分析的推廣是典型域上的調和分析。他用群表示理論具體構造了典型域上的絕對值平方可積全純函數的一組完備正交歸一函數系。群表示論與正交系的關係並非華羅庚首先發現，但能夠具體地找出非顯然的例子的所有不可約表示並計算其正交化所需的各種常數，應是始於華羅庚在50年代初期的工作。這使得調和分析在60年代熱門起來。

調和分析領域的權威、普林斯頓大學教授斯坦，在一次學術會議上，當著華羅庚和他的學生的面說，“我是華的名譽學生”。他是使華羅庚成為美國科學院外籍院士的推薦人之一。

華羅庚在把一個表示化為適合所需條件的不可約表示時，使用了兩個奇妙的代數恆等式。他是怎樣想出這兩個恆等式的，筆者只能驚嘆他是天才。但華羅庚從不認為自己是天才，這隻好歸於他有敏銳的數學直覺。此外，正交歸一化所需的常數要用到很多矩陣積分的計算，他以驚人的技巧把許多複雜的矩陣積分計算出來。這些技巧後來被理論物理學家廣為應用。

在談到矩陣積分時，不能不說到他引進的矩陣極坐標。最初他是為了計算矩陣積分而引進的，但後來發現體積元素的矩陣極坐標的表達式與李代數根系的計算有密切關係，使後人對一些根系的計算變得大為容易。矩陣極坐標對於對稱空間的幾何研究也十分有用。

華羅庚用典型域的矩陣方法考慮數學物理問題是鮮為人知的，但筆者有幸知道，他60年代初期在中山大學講學的一份講義就是用矩陣的方法來處理狹義相對論的。狹義相對論的未來光錐就是第四類典型域的特徵流形。從華羅庚獲獎的書中知道，當n = 4時Bergman核函數可以寫成1 / deg Z的若干次方的形式，是一個次調和函數。他的學生的學生周向宇解決“擴充未來光錐管域猜想”的證明中，重要的一步就是要構造一個在擴充未來光錐管域的次調和函數，上述函數就是。這一著如果不是華派的弟子是難以想到的。由於解決這一猜想，俄國科學院Steklov數學研究所授予周向宇俄國國家科學博士學位，這是有史以來中國人從俄國獲得的第三個科學博士。

在上面提到的講義中，華羅庚還曾用矩陣的方法處理Dirac運算元，準備對Dirac運算元的熱核進行研究。我們知道，從70年代到今天，從指標定理到Seiberg—Witten方程，都與Dirac運算元的研究有關，對數學與理論物理產生了巨大的影響。華羅庚的思想是超前的。