勒貝格積分

眾所周知，在里一個區域E的黎曼積分的幾何意義是分別用一個(即有限個)曲邊多邊形A和B去覆蓋和填充E，若，則稱E可積。而在應用中這在某種情況下面是不足夠的。所以勒貝格從“一個”曲邊多邊形出發，去更改積分的定義，把“一個”改為“可數個”，最終導致數學史上的第三次完備化——L可積函數的極限仍然是L可積的。

積分是“和”的概念。即將東西加起來。所以積分早期是從面積，路程等計算中發展起來。比如計算面積，將X軸的區間分成若干小區間，將小區間的高度（Y值）乘以小區間的長度，然後加起來。用極限法就可以求得精確的面積。這是傳統的積分概念（黎曼積分）。

勒貝格從另一個角度來考慮積分概念，導致勒貝格積分和測度概念。比如計算面積，可以將小區間的高度（Y值）乘以對應的所有小區間的長度的和（測度），然後加起來。又比如現有硬幣：。用黎曼積分來求和：用勒貝格積分來求和：結果是一樣的。但對於一些“壞”函數，結果是不一樣的。

比如在X軸閉區間上定義函數：

，當X是有理數；

，當X是無理數。

求該函數覆蓋的面積。

黎曼積分無法定義，因為任意小的區間都包含無理數和有理數。

用勒貝格積分來求和：

閉區間的長度（測度）是1；有限點集的長度（測度）是0；無限可數點集（如，有理數）的長度（測度）是0。而閉區間的長度（測度）=有理數集的長度+無理數集的長度。

所以，閉區間的無理數集的長度（測度）是1。這就解釋了上述計算結果。

還有物理學裡面常見的狄拉克δ函數，Riemann積分下是不可積的，在L積分意義下它有著最初物理學家所定義的性質。

由此可見，勒貝格積分比黎曼積分廣義。但必須指出，勒貝格積分無法完全代替黎曼積分，問題出在L可積函數具有絕對可積的性質，導致條件收斂的黎曼廣義可積函數不是L可積函數。

勒貝格積分與實變函數論集合論的觀點在20世紀初首先引起積分學的變革，從而導致了實變函數論的建立。

1854年黎曼（德，1826－1866年）定義了黎曼積分，19世紀末，分析的嚴格化迫使許多數學家認真考慮所謂“病態函數”，特別是不連續函數、不可微函數的積分問題，如，積分的概念可以怎樣推廣到更廣泛的函數類上？1898年波萊爾（法，1871－1956年）的測度論（1925年曾任法國海軍部長），1902年勒貝格（法，1875－1941年）的博士論文《積分，長度與面積》建立了測度論和積分論，使一些原先在黎曼意義下不可積的函數按勒貝格的意義變得可積了，可以重建微積分基本定理，從而形成一門新的學科：實變函數論。成為分析的“分水嶺”，人們常把勒貝格以前的分析學稱為經典分析，而把以由勒貝格積分引出的實變函數論為基礎而開拓出來的分析學稱為現代分析。

黎曼積分的重要推廣，分析數學中普遍使用的重要工具。

19世紀的微積分學中已經有了許多直觀而有用的積分，例如黎曼積分（簡稱R積分）、黎曼-斯蒂爾傑斯積分（簡稱R-S積分）等。只要相應的函數性質良好，用這些積分來計算曲邊形面積、物體重心、物理學上的功、能等，是很方便的。然而，隨著認識的深入，人們愈來愈經常地需要處理複雜的函數，例如，由一列性質良好的函數組成級數所定義出來的函數，兩個變元的函數對一個變元積分后所得到的一元函數等。在討論它們的可積性、連續性、可微性時，經常遇到積分與極限能否交換順序的問題。通常只有在很強的假設下才能對這問題作出肯定的回答。因此，在理論和應用上都迫切要求建立一種新的積分，它既能保持R積分的幾何直觀和計算上的有效，又能在積分與極限交換順序的條件上有較大的改善。1902年法國數學家H.L.勒貝格出色地完成了這一工作，建立了以後人們稱之為勒貝格積分的理論，接著又綜合R-S積分思想產生了勒貝格-斯蒂爾傑斯積分（簡稱l－S積分）。20世紀初又發展成建立在一般集合上的測度和積分的理論，簡稱測度論。

（1875～1941）Lebesgue，Henri Lon法國數學家。1875年6月28日生於博韋，1941年7月26日卒於巴黎。1894～1897年在巴黎高等師範學校學習。1902年在巴黎大學獲得博士學位，從1902年起先後在雷恩大學、普瓦蒂埃大學、巴黎大學文理學院任教。1922年任法蘭西學院教授，同年被選為巴黎科學院院士。

勒貝格的主要貢獻是測度和積分理論。他採用無窮個區間來覆蓋點集，使許多特殊的點集的測度有了定義。在定義積分時他也採取劃分值域而不是劃分定義域的辦法，使積分歸結為測度，從而使黎曼積分的局限性得到突破，進一步發展了積分理論。他的理論為20世紀的許多數學分支如泛函分析、概率論、抽象積分論、抽象調和分析等奠定了基礎。利用勒貝格積分理論，他對三角級數論也作出基本的改進。另外，他在維數論方面也有貢獻。晚年他對初等幾何學及數學史進行了研究。他的論文收集在《勒貝格全集》。

在閉區間a和b之間對函數f的積分可以被看作是求f的函數圖像下的面積。對於多項式這樣比較常見的函數來說這個定義簡而易懂。但是對於更加稀奇古怪的函數來說它是什麼意思呢？廣義地來說，對於什麼樣的函數“函數圖像下的面積”這個概念有意義？這個問題的答案具有很大的理論性和實際性意義。

19世紀里在數學中有把整個數學理論放到一個更加堅固的基礎上的趨勢。在這個過程中數學家也試圖給積分計算提供一個穩固的定義。波恩哈德·黎曼提出的黎曼積分成功地為積分運算提供了一個這樣的基礎。黎曼積分的出發點是構造一系列容易計算的面積，這些面積最後收斂於給定的函數的積分。這個定義很成功，為許多其它問題提供了有用的答案。

但是在求函數序列的極限的時候黎曼積分的效果不良，這使得這些極限過程難以分析。而這個分析比如在研究傅里葉級數、傅里葉變換和其它問題時卻是極其重要的。勒貝格積分能夠更好地描述在什麼情況下積分有極限。勒貝格積分所構造出的容易計算的面積與黎曼積分所構造的不同，這是勒貝格積分更加成功的主要原因。勒貝格的定義也使得數學家能夠計算更多種類的函數的積分。比如輸入值為無理數時函數值為0，輸入值為有理數時函數值為1的狄利克雷函數沒有黎曼積分，但是有勒貝格積分。

以下的介紹是遵循最常見的勒貝格積分的介紹進行的。在這個介紹中積分理論分兩部分：

● ● 可測集和在這些集合上可以進行的測量的理論；

● ● 可測函數和對這些函數積分的理論。

測度理論

最初測度理論是用來對歐幾里得空間中直線的長度，以及更廣義地，歐幾里得空間的子集的面積和體積進行仔細分析發展出來的。它尤其可以為R的哪些子集擁有長度這個問題提供一個系統性的回答。後來發展的集合論證明，實際上不可能為 R的所有子集都分配一個長度，且保持天然的可加性和平移不變的性質。因此給出一個合適的，可測量的子集類是一個關鍵的前提。

當然，黎曼積分隱含了長度的概念。事實上計算黎曼積分的元素是所組成的長方形，它的面積為是這個長方形的寬度，而d−c則是其高度。黎曼只能用平面的長方形來估算曲線下的面積，因為當時還沒有其它適當的理論來測量更一般的集合。

在大多數現代的教科書中測度和積分都是公理性的。也就是說測度是一個定義在集合 E的某些子集組成的集合X上的函數μ，這些子集必須擁有一定的特徵。在許多不同的情況下這些特徵成立。

積分

從一個測度空間出發，E是一個集合，X是由 E的子集構成的σ代數，μ是定義在X上的測度。

比如 E可以是一個n維歐幾里得空間R或者它的一個勒貝格可測子集。則X是所有E的勒貝格可測子集構成的σ代數，μ則是勒貝格測度。在討論概率論時，μ是概率空間E中的概率測度，滿足。

在勒貝格理論中只有對所謂的可測函數才能夠進行積分。一個函數f被稱為是可測的，假如每個區間 的的原像是 E中的可測集合，也就是：

可以證明，這與要求R中每個博雷爾子集的原像屬於X的條件是等價的。我們從直接使用第二個條件。可測函數的集合在函數的代數運算下是封閉的，更重要的是在多種逐點序列極限下它們是封閉的：

是可測的，假如原序列 是由可測函數組成的，其中 N。

我們對E上的可測實數值函數 f積分

分步進行構造：

指示函數：與給定的測度μ一致的可測集合 S的指示函數的積分唯一可選擇的值為：

簡單函數：通過對指示函數進行有限線性組合：

這裡係數 是實數，集合 是可測集。這樣的函數稱為可測簡單函數。我們用線性性質將積分延拓到非負的可測簡單函數上。當 非負時，令

在這裡和可能是無限的。一個簡單函數可以通過不同方法的指示函數線性組合形成，但是其積分始終是一致的，這一點可由測度的可加性證明。

假如E是一個可測集合，s是一個可測簡單函數的話則

非負函數： f為 E中的一個非負可測函數，其值可以達到即 f可以在擴展的實數軸上取任何非負值。我們定義

 ，其中s是非負的簡單函數， 示零函數，這裡的大小關係是對定義域的每個點都成立。

我們必須證明這個積分與上面定義在簡單函數集合上的積分相符。此外還有這個積分定義是否與黎曼積分的概念有對應關係的問題。事實上可以證明這兩個問題的答案都是肯定的。

這樣我們定義了E中所有非負擴展實值可測的函數f的積分。要注意的是這裡定義的函數積分可以是無限大。

帶負數值的函數：為了解決有負數值的函數，我們還需要添加幾個定義。假設f是可將可測集合E映射到一個實數（包括的函數的話，則有

其中

請注意 和 都是非負函數。此外

直觀解釋

黎曼積分（藍色）和勒貝格積分（紅色） 

要直觀地解釋兩種積分的原理，可以假設我們要計算一座山在海平面以上的體積。

黎曼積分是相當於把山分為每塊都是一平方米大的方塊，測量每個方塊正中的山的高度。每個方塊的體積約為1x1x高度，因此山的總體積為所有高度的和。

勒貝格積分則是為山畫一張等高線圖，每根等高線之間的高度差為一米。每根等高線內含有的岩石土壤的體積約等於該等高線圈起來的面積乘以其厚度。因此總體積等於所有等高線內面積的和。

佛蘭德（Folland）總結說，黎曼積分是把分割定義域[a,b]為較小子區間，而勒貝格積分則是分割 f的值域，或者以 這例子來講，黎曼積分是分割 x-軸上的定義域[a,b]，而勒貝格積分是分割 y-軸上的值域。

例子

有理數的指示函數 是一個無處連續的函數。

在區間之間 沒有黎曼積分，因為在實數中有理數和無理數都是稠密的，因此不管怎樣把分成子區間，每一個子區間裡面總是至少會有一個有理數和一個無理數，因此其達布積分的上限為1，而下限為0。

在區間內 有勒貝格積分。事實上它等於有理數的指示函數，因為 是可數集，因此

關於勒貝格測度的積分也可以不通過使用整個測度理論引導出來。一個這樣的方法是使用丹尼爾積分。 

使用泛函分析的方法也可以發展出積分的理論。任何定義在 （或一個固定的開子集）上的緊支撐連續函數 f都有黎曼積分。從這些積分開始，我們可以建立更一般的函數的積分。設 為上所有實數值緊支撐連續函數所構成的空間。定義 的范數為

這樣一來 是一個賦范向量空間（特別地，它是一個度量空間）。所有的度量空間都有豪斯多夫完備性，因此令 為其完備空間。這個空間與勒貝格可積分函數余積分為零的子空間同構。而且黎曼積分∫關於 上的范數是一致連續的泛函，而 在 是稠密的。因此∫是所有 唯一的延伸。這個積分正好就是勒貝格積分。

這個結果可以被廣泛化來建立關於局部緊空間的拉東測度的積分理論。2004年尼古拉·布爾巴基就是使用了這個方法。

值得指出的是許多拓撲向量空間（比如希爾伯特空間或者巴拿赫空間）中的定理以及其中的極限運算，通過使用勒貝格積分獲得了巨大的簡化。