棣莫弗定理

設兩個複數(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),則:

Z1Z2=r1r2【cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)】.

證：先講一下複數的三角形式的概念。在複數平面上，可以用向量Z(a,b)來表示Z=a+ib.於是，該向量可以分成兩個在實軸，虛軸上的分向量。如果向量Z與實軸的夾角為θ,這兩個分向量的模分別等於rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以，複數Z可以表示為Z=r(cosθ+isinθ).這裡θ稱為複數Z的輻角.

因為Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以

Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)

=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)

=r1r2【(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)】

=r1r2【cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)】.

其實該定理可以推廣為一般形式

設n個複數Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),……，Zn=rn(cosθn+isinθn), 則：

Z1Z2……Zn=r1r2……rn【cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)】.

證：用初等數學的知識已經不好來證明這個定理推廣，需要運用歐拉公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（詳見我的詞條《泰勒公式》）給予證明。把所有的複數改寫成冪指數的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……，Zn=rne^iθn, 所以有：

Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn).再把這個指數形式改寫成三角形式就可得到：

Z1Z2……Zn=r1r2……rn【cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)】.

在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z,則能導出複數開方的公式。有興趣可自己推推看.

對n∈Z*，採用數學歸納法證明。

①當n=1時，等式明顯成立

②設當n=k時等式成立，則當n=k+1時

即當n=k+1時等式也成立

綜上，對於任意正整數n，都有。

與歐拉公式的聯繫

如果把棣莫弗定理和歐拉（Euler）公式（參見《泰勒公式》，嚴格的證明需要複分析）放在一起看，則可以用來理解歐拉公式的意義。

利用棣莫弗定理有：

如果可以把所有的複數改寫成指數的形式，即

則

這和指數的可加性一致。

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士數學家、自然科學家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國聖彼得堡去世。歐拉出生於牧師家庭，自幼受父親的影響。13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲得碩士學位。歐拉是18世紀數學界最傑出的人物之一，他不但為數學界作出貢獻，更把整個數學推至物理的領域。他是數學史上最多產的數學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數學界中的經典著作。歐拉對數學的研究如此之廣泛，因此在許多數學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。此外歐拉還涉及建築學、彈道學、航海學等領域。瑞士教育與研究國務秘書Charles Kleiber曾表示：“沒有歐拉的眾多科學發現，今天的我們將過著完全不一樣的生活。”法國數學家拉普拉斯則認為：讀讀歐拉，他是所有人的老師。2007年，為慶祝歐拉誕辰300周年，瑞士政府、中國科學院及中國教育部於2007年4月23日下午在北京的中國科學院文獻情報中心共同舉辦紀念活動，回顧歐拉的生平、工作以及對現代生活的影響。

在數學及許多分支中都可以見到很多以歐拉命名的常數、公式和定理。在數論中，歐拉定理（Euler Theorem，也稱費馬-歐拉定理或歐拉函數定理）是一個關於同餘的性質。歐拉定理得名於瑞士數學家萊昂哈德·歐拉，該定理被認為是數學世界中最美妙的定理之一。歐拉定理實際上是費馬小定理的推廣。此外還有平面幾何中的歐拉定理、多面體歐拉定理(在一凸多面體中，頂點數-棱邊數+面數=2)。西方經濟學中歐拉定理又稱為產量分配凈盡定理，指在完全競爭的條件下，假設長期中規模收益不變，則全部產品正好足夠分配給各個要素。

棣莫弗，A．（De Moivre，Abraham)1667年5月26日生於法國維特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒於英國倫敦．數學家。

棣莫弗出生於法國的一個鄉村醫生之家，其父一生勤儉，以行醫所得勉強維持家人溫飽。棣莫弗自幼接受父親的教育，稍大後進入當地一所天主教學校念書，這所學校宗教氣氛不濃，學生們得以在一種輕鬆、自由的環境中學習，這對他的性格產生了重大影響。隨後，他離開農村，進入色拉的一所清教徒學院繼續求學，這裡卻戒律森嚴，令人窒息，學校要求學生宣誓效忠教會，棣莫弗拒絕服從，於是受到了嚴厲制裁，被罰背誦各種宗教教義。那時，學校不重視數學教育，但棣莫弗常常偷偷地學習數學。在早期所學的數學著作中，他最感興趣的是C．惠更斯（Huygens）關於賭博的著作，特別是惠更斯於1657年出版的《論賭博中的機會》（Deratiociniis in ludo aleae）一書，啟發了他的靈感。

1684年

1684年，棣莫弗來到巴黎，幸運地遇見了法國傑出的數學教育家、熱心傳播數學知識的J．奧扎拉姆（Ozanam）。在奧扎拉姆的鼓勵下，棣莫弗學習了歐幾里得（Euclid）的《幾何原本》（Ele-ments）及其他數學家的一些重要數學著作。

1685年

1685年，棣莫弗與許多信仰新教的教友一道，參加了震驚歐洲的宗教騷亂，在這場騷亂中，他與許多人一起被監禁起來。正是在這一年，保護加爾文教徒的南茲敕令被撤銷。隨後，包括棣莫弗在內的許多有才華的學者由法國移住英國。據教會的材料記載，棣莫弗一直被監禁至1688年才獲釋，並於當年移居倫敦。但據20世紀60年代發現的一份當時的材料，1686年時棣莫弗已經到了英國。隨後，棣莫弗一直生活在英國，他對數學的所有貢獻全是在英國做出的。

抵達倫敦后，棣莫弗立刻發現了許多優秀的科學著作，於是如饑似渴地學習。一個偶然的機會，他讀到I．牛頓（Newton）剛剛出版的《自然哲學的數學原理》（Mathematical principles of natural philosophy），深深地被這部著作吸引了。後來，他曾回憶起自己是如何學習牛頓的這部巨著的：他靠做家庭教師糊口，必須給許多家庭的孩子上課，因此時間很緊，於是就將這部巨著拆開，當他教完一家的孩子後去另一家的路上，趕緊閱讀幾頁，不久便把這部書學完了。這樣，棣莫弗很快就有了充實的學術基礎，並開始進行學術研究。

1692年

1692年，棣莫弗拜會了英國皇家學會秘書E．哈雷（Halley），哈雷將棣莫弗的第一篇數學論文“論牛頓的流數原理”（On New-ton’s doctrine of fluxions）在英國皇家學會上宣讀，引起了學術界的注意。1697年，由於哈雷的努力，棣莫弗當選為英國皇家學會會員。

棣莫弗的天才及成就逐新受到了人們廣泛的關注和尊重。哈雷將棣莫弗的重要著作《機會的學說》（The doctrine of chances）呈送牛頓，牛頓對棣莫弗十分欣賞。據說，後來遇到學生向牛頓請教概率方面的問題時，他就說：“這樣的問題應該去找棣莫弗，他對這些問題的研究比我深入得多”。1710年，棣莫弗被委派參與英國皇家學會調查牛頓-萊布尼茨關於微積分優先權的委員會，可見他很受學術界的尊重。1735年，棣莫弗被選為柏林科學院院士。1754年，又被法國的巴黎科學院接納為會員。

棣莫弗終生未婚。儘管他在學術研究方面頗有成就，但卻貧困潦倒。自到英國倫敦直至晚年，他一直做數學方面的家庭教師。他不時撰寫文章，還參與研究確定保險年金的實際問題，但獲得的收入卻極其微薄，只能勉強糊口。他經常抱怨說，周而復始從一家到另一家給孩子們講課，單調乏味地奔波於僱主之間，純粹是浪費時間。為此，他曾做了許多努力，試圖改變自己的處境，但無濟於事。