伽遼金法

伽遼金方法（Galerkin method）是由俄羅斯數學家鮑里斯·格里戈里耶維奇·伽遼金（俄文：Борис Григорьевич Галёркин）發明的一種數值分析方法。應用這種方法可以將求解微分方程問題（通過方程所對應泛函的變分原理）簡化成為線性方程組的求解問題。而一個高維（多變數）的線性方程組又可以通過線性代數方法簡化，從而達到求解微分方程的目的。

必須強調指出的是，作為加權余量法的一種試函數選取形式，伽遼金法所得到的只是在原求解域內的一個近似解（僅僅是加權平均滿足原方程，並非在每個點上都滿足）。

伽遼金法直接針對原控制方程採用積分的形式進行處理，它通常被認為是加權余量法的一種。這裡先介紹加權余量法的一般性方程。考慮定義域為V的控制方程，其一般表達式為：

Lu=P

精確解集u上的每一點都滿足上述方程，如果我們尋找到一個近似解ū ，它必然帶來一個誤差ε（x），把它叫做殘差，即：

ε (x)=Lū-P

近似方法要求殘差經加權后他在整個區域中之和應為0，即：

∫ v[ Wi· (Lū-P)]dV=0 其中i=1,2,...,n

選取不同的加權函數Wi會得到不同的近似方法。

對於伽遼金法來說，加權函數Wi一般稱為形函數Φ（或試函數），Φ的形式為

Φ=ΣΦi·Gi

其中Gi（i=1,2,...,n）為基底函數（通常取為關於x,y,z的多項式），Φi為待求係數，這裡將加權函數取為基底為Gi的線性組合。

另外，一般近似解ū的構造也是選取Gi為基底函數，即

ū=ΣQi·Gi

其中，Qi為待定係數。

綜上可得伽遼金法的表達形式如下：

選擇基底函數Gi，確定 ū=ΣQi·Gi中的係數Gi使得

∫ v[ Φ· (Lū-P)]dV=0

對於Φ=ΣΦi·Gi類型的每一個函數 Φ都成立，其中係數Φi為待定的，但需要滿足Φ其次邊界條件。求解出Qi之後，就能得到近似解ū。

伽遼金法在力學中遵循的是虛功原理和流體力學中的虛功率原理。虛功原理即：對於滿足理想約束的剛體體繫上作用任何的平衡力系，假設體系發生滿足約束條件的無限小的剛體位移，則主動力在位移上所做的虛功總和恆為零（內虛攻總等於外虛功）。虛功率原理類似於力學中的最小勢能原理，流場外力所做的虛功率等於流場內應力及慣性力的虛功率。

伽遼金法可廣泛用於各種數學物理工程問題，特別是流體力學中的有限元方法，主要採用的就是伽遼金法或其改進方法。相對於瑞利-里茲法，兩者雖然在某個特定的條件是等效的，但是伽遼金法是直接針對原始微分方程推導出來的，也適用於不能給出泛函（需對其求極小值）的那些問題，伽遼金法比瑞利-里茲法更有優勢。但是應當注意的是，伽遼金法雖然具有精度高、適用性較廣的優點，但是對它的數學原理研究還不是很清楚，收斂性的許多問題仍有待解決。

雖然有限元方法在流體力學中應用時主要採用的就是伽遼金法，但是對於某些流體力學問題，如對流擴散問題（由於對流擴散方程存在非線性的對流項）會經常因為有限元網格不恰當而造成有限元數值解的失真或振蕩。對於這個缺陷，可以通過加密網格解決，但是這樣會導致計算量大大增加，並不實用；此外Heinrich和Zienkiewicz等人於1977年提出採用迎風格式優化伽遼金法，從而在不增加計算量的基礎上解決了這個問題。

另外伽遼金法及其一系列改進方法，如混合伽遼金法，最小二乘/伽遼金法等，都會產生非正定對稱剛度矩陣，從而導致其方程組求解的計算量較大，所以至今未能大範圍用於計算流體力學中。

更多圖冊