數學直覺

數學直覺思維在科技創造中具有重要作用和意義，很多科學家給予高度評價：

愛因斯坦： “物理學家的最高使命是要得到那些普遍的基本定律，由此世界體系就能用單純的演繹法建立起來。要通向這些定律，並沒有邏輯的道路；只有通過那種以對經驗的共鳴的理解為依據的直覺，才能得到這些定律。 ”“真正可貴的因素是直覺。 ”“我信任直覺。 ”

大數學家希爾伯特： “在算術中，也像在幾何中一樣，我們通常都不會循著推理的鏈條去追溯最初的公理。相反地，特別是在開始解決一個問題時，我們往往憑藉對算術符號的某種算術直覺，迅速地、不自覺地去應用並不絕對可靠的公理組合。這種算術直覺在算術中是不可缺少的，就像在幾何學中不能沒有直覺想象一樣。 ”

美國數學家R · 庫朗： “直覺，這種難以捉摸，充滿活力的力量，始終在創造性的數學中起作用，甚至推動和引導最抽象的思維過程。 ”

龐卡萊： “沒有直覺，數學家就會像這樣一個作家：他只是按語法寫詩，但卻毫無思想。 ”

湯川秀樹： “人類必須從直覺或想象開始，然後他才能藉助於自己的抽象能力前進。 ”雖然抽象的數學形式體系永遠是科學思維的最後產物，但在科學思維中直覺卻起著比通常所注意到的更加重要的作用：

第一、選擇的功能：排除無用的，保留有用的。

第二、尋找事物聯繫的功能：直覺地抓住事物聯繫對數學發現可起很大作用。

第三、預見與預測的功能：體現在想象、直覺提出的猜測中。

直覺思維在人的創造思維能力中佔有舉足輕重的地位。然而，數學教學中則往往偏重於演繹推理的訓練，過分強調形式論證的嚴密邏輯性，忽視直覺思維的突發性理解與頓悟作用，忽視數學形成過程中生動直觀的一面及包含著大量源於直覺思維的結果，從而一定程度上限制了學生創造能力的發展。在實施素質教育今天，加強學生直覺思維能力的培養實屬當務之急。

關於數學直覺思維：

有兩位諾貝爾獎金獲得者曾深入考察過直覺，並試圖提示其內在機制。其中一位是諾貝爾物理學獎獲得者、日本理論物理學家湯川秀樹，另一位是諾貝爾經濟學獎獲得者、美國認知科學家西蒙。西蒙認為大部分直覺都是識別行為，也許更確切地說法是，識別是直覺的核心操作。這就是說，直覺實質上是通過從新問題情境中識別出一個與原有的熟悉塊相似的模式，並調用與那個熟悉塊相聯繫的信息解決新問題的過程。湯川秀樹認為包括直覺在內的任何創造過程都基於“等同確認”這種智力功能。 “等同確認”實質上就是發現新、舊事物在結構上的同一性或同構性的過程，而調用舊問題的解法並把它加之於新問題也無非就是在試圖進一步擴展它們之間的同構關係。不難看出，西蒙對直覺所作的信息加工解釋與湯川秀樹的“等同確認”說，有異曲同工之妙。

一般地，直覺思維是指不受某種固定的邏輯規則約束而直接領悟事物本質的一種思維形式。一般有直覺、靈感兩種形式。具有以下特徵：認識發生的突發性、認識過程的突變性、認識成果的突破性。

數學思維是指人關於數學對象的理性認識過程。廣義理解為：應用數學工具解決各種實際問題的思考過程。所謂數學直覺思維是數學思維的一種基本成分，是數學活動中的一種認識過程和思維方式的直覺。

對此概念有以下兩方面的說明：

第一數學直覺與通常所說的感性直觀不同：

物理對象 感性知覺 一般知識

數學對象 數學直覺 數學知識

第二、作為“對於數學對象的直接的領悟和洞察” ，數學直覺是一種不包含普通邏輯推理過程的直接悟性。

數學直覺思維的特徵：

經驗性：直覺所運用的知識組塊和形象直感都是經驗的積累、升華。

迅速性：解決問題的過程短暫、反應靈敏、領悟直接。

跳躍性：不按常規的邏輯規則前進。

或然性：客觀上，直覺思維得出的結論可能正確，也可能錯誤。最後還需邏輯思維或實驗加以檢驗。

直接性：思維過程與結果的直接性。將思維操作中的邏輯中介壓縮或簡化，徑直指向最後結論，從整體上對事物的性質，聯繫作出初步的結論性判斷。

綜合性：思維者從整體上把握，不著眼於細節的分析。

模糊性：具有某種程度抽象或模糊化了的“幾何圖象” ，其過程由模糊到清晰，用精確描述模糊。

自發性：產生的突然性和不可預期性。

個體性：無法向他人說明思維的過程和結論形成的原因，帶有很大的個人色彩。

堅信感：思維者對直覺得出的結論主觀上具有正確的自信心。

數學直覺思維的基本形式：

直覺觀念：直觀的模型或空間圖形，表現為圖形，用文字、符號表達的有某種規律性的式子等，同邏輯思維中的概念有類似的作用，故稱直覺觀念（簡稱直念）。具有模糊性，歧義性。故，以直念作為思維細胞的數學直覺思維難以與別人交流。

直覺推理：從一個直念到另一個直念的變換，是由想象力牽引著前進的。我們把由想象聯接直念的運動過程稱為直覺推理。如：牛頓、萊布尼茲發現微積分的過程。

直覺判斷：人腦對數學對象及其結構的一種迅速敏銳的識別，直接的本質理解，綜合的整體判斷，是一種飛躍式的思維方式。如：羅巴切夫斯基、黎曼創見非歐幾何。

直覺啟發：即靈感。表現為人們對長期探索而未能解決的問題的一種突然性領悟，也是對問題百思不得其解時的一種“茅塞頓開” 。特徵：突發性、模糊性、偶然性、非邏輯性。如：笛卡爾發現“解析幾何” ，彭加勒發現富克斯函數的變換方法。

對於數學思維的形式不同的學者有不同的提法，如：徐利治教授認為從數學直覺在數學認識活動中作用的角度出發，分為辯識、關聯、審美直覺三類。

數學直覺 數學靈感 數學直覺思維形式關係圖：數學知識組塊

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