全純映射

全純映射是複流形之間的解析映射。設M，N分別是復m，n維複流形，是連續映射。若對每一點，存在一個鄰域U，使得f在U內可用局部坐標函數表示成：

其中ω都是全純函數，則稱f是全純映射。

映射亦稱函數。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係。設G是從X到Y的關係，G的定義域，且對任何都有惟一的滿足，則稱G為從X到Y的映射。即關係G為映射時，應滿足下列兩個條件：

1.

2.這個被所惟一確定的，通常表示為滿足：

1)

2)

3)

關係G常使用另一些記號：。f與G的關係是，當且僅當成立。可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變數。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變數。始集X稱為映射f的定義域。記為。終集Y稱為映射的陪域，記為Y中與X中的元素有關係G的元素的組合稱為映射的值域，記為。當時，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。對於AX，所有A中元素的象的集合或稱為A的象。記為。對於BY，所有B中元素的原象的集合稱為B的原象。記為。顯然：

流形是一類特殊的連通、豪斯多夫仿緊的拓撲空間，在此空間每一點的鄰近預先建立了坐標系，使得任何兩個(局部)坐標系間的坐標變換都是連續的。n維流形的概念在18世紀法國數學家拉格朗日的力學研究中已有萌芽。19世紀中葉英國數學家凱萊(1843)、德國數學家格拉斯曼(1844，1861)、瑞士數學家施勒夫利(1852)分別論述了n維歐幾里得空間理論，把它視為n個實變數的連續統。1854年德國數學家黎曼在研究微分幾何時用歸納構造法給出一般n維流形的概念：n維流形是把無限多個維流形按照一維流形方式放在一起而形成的，從此開始流形的拓撲結構及其局部理論的研究。法國數學家龐加萊在19世紀末把n維流形定義為一種連通的拓撲空間，其中每一點都具有和n維歐氏空間同胚的鄰域(被稱為龐加萊流形)，從而開闢了組合拓撲學的道路。

對流形的深入研究集中在流形上的微分結構與組合結構的存在性、唯一性問題，微分結構與組合結構的關係，流形的各種意義下的分類等問題，20世紀50—60年代做出許多重要結果，近幾十年來出現有限維帶邊流形和無限維流形概念。流形理論在與其他拓撲理論的相互結合發展中也提出許多問題，其研究仍在繼續。

複流形是無支點黎曼曲面的推廣。設M為具有可數基的仿緊拓撲空間，且在M上有開覆蓋使得對每個開集，存在到C中的域上的同胚映射，於是中任給一點p，則：

稱為點p關於區圖之坐標。設對M中任一點q，若存在，使得.記q關於之坐標為，關於之坐標為，則：

為到上的全純同構，這時M稱為n維複流形。n維複流形為2n維實解析流形，反之不一定。

複流形和實流形概念的引進擴大了微分幾何和實分析的對象，產生了像大範圍分析那樣的學科一樣，複流形概念的引進，擴大了複分析的研究領域和產生像復幾何那樣的學科，其中緊複流形的研究成果較多。最簡單的緊複流形為緊黎曼面及n維復射影空間。

亦稱解析函數或正則函數，是解析函數論的主要研究對象。對於定義於複平面上區域D內的復變數z的單值函數f(z)，如果它在D內的每個點z的一個鄰域內都可以用的冪級數表示，則稱f(z)在D內解析。外爾斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))從冪級數出發，建立了解析函數的級數理論。如果在D內的每個點z處，極限：

(稱為函數在z點的導數)都存在，柯西(Cauchy，A.-L.)稱f(z)在D內是解析的。這兩個定義是等價的。函數在D內解析的另一個等價條件是：在D內的每一個點處存在連續偏導數，並且滿足柯西-黎曼方程(或稱柯西-黎曼條件)：

這個條件有時簡稱C-R條件或稱達朗貝爾-歐拉條件。函數在區域D內解析的第四個等價條件是莫雷拉定理。