高等代數與解析幾何

作者：曾令淮、段輝明、李玲

ISBN：9787302373018

定價：39元

印次：1-1

裝幀：平裝

印刷日期：2014-8-12

本書涵蓋現行理工科所用的高等代數教材內容以及空間解析幾何的基礎知識，內容包含三部分：空間解析幾何、多項式、線性代數，具體分為行列式、幾何空間、矩陣、線性方程組、矩陣的特徵值與特徵向量、二次型、一元多項式、線性空間、線性變換、歐幾里得空間共10章內容.

本書適合於工科院校數學類各專業，而且前6章內容還適合理工科院校非數學類不開設高等數學而開設工科數學分析的專業講授，后4章內容也可以作為這些專業學生的考研參考.

本書是作者在使用多年的講義基礎上，結合工科類院校數學專業的教學實際，汲取國內其他教材的長處整理而成。它將高等代數與空間解析幾何的內容結合在一起，用代數的方法解決幾何問題，用幾何的直觀勾勒代數理論.

高等代數和空間解析幾何是大學數學的兩大專業基礎課程。前者的基本內容是多項式理論、矩陣理論、向量空間和線性變換理論；後者的基本內容是向量代數、空間直線和平面、常見曲面、坐標變換、二次曲線方程的化簡等。多年來，我國大部分高校的數學專業，都是將這兩門課分開教學。高等代數是研究線性空間及其上的線性變換的學科, 課程中大量的公式、定理、推論都是採用嚴格的演繹論證方法, 抽象程度高, 邏輯性強。學生在學習知識時很難深刻理解其中的抽象概念和複雜結論, 學習效率不高。利用幾何直觀方法, 把抽象的問題形象化, 結合直觀的形象對抽象內容加以理解, 可以幫助學生理解概念, 發現研究思路, 有效開展推理、猜想, 直至問題解決。因此, 在教學中運用幾何直觀與演繹論證相結合的方法, 不僅是學生學好高等代數的需要, 而且對培養學生分析問題的能力和養成科學的思維品質都具有十分重要的意義。事實上，高等代數為解析幾何提供研究方法，而解析幾何為高等代數提供直觀背景。近年來，一般大學數學課程中的高等代數和空間解析幾何課程的課時減少了許多，而對數學內容的要求卻沒有多大變化。因此，給這兩門課的教學造成了一定的困難。另外，從純數學的觀點來看，高等代數與空間解析幾何, 這兩門課有許多重疊的地方, 因此，將這兩門課整合成一門課是必要的.

本書將代數與幾何融合為一門課程, 更密切了它們的聯繫，避免了重疊，利用幾何為代數提供直觀背景來發展學生的想象能力，可以消除代數的抽象感，應用代數處理幾何問題，可以使學生感受到代數應用的廣泛性，使學生對代數與幾何的理解更加深刻.

本書注重學生的學習體驗，習題中題目與教學內容的難度相匹配，題目難易度有層次，便於學生學習。每章末有本章小結，介紹了相應章節知識的基本概念與基本解題方法，並配有複習題，便於學生複習鞏固.

感謝重慶郵電大學理學院的領導和同事對本書編寫提供的支持與幫助。限於時間倉促，書中難免有紕漏之處，懇請讀者指正.

編者2014年5月

第1章行列式

1.1二階和三階行列式

1.1.1二階行列式

1.1.2三階行列式

習題1.1

1.2排列

1.2.1排列及其逆序數

1.2.2對換

習題1.2

1.3n階行列式

習題1.3

1.4行列式的性質

習題1.4

1.5行列式按行(列)展開

習題1.5

1.6克萊姆法則

習題1.6

本章小結

複習題一

第2章幾何空間

2.1預備知識

2.1.1共線(共面)的向量

2.1.2向量與向量的夾角

2.1.3向量的投影及其性質

2.1.4極坐標系

習題2.1

2.2向量的向量積、混合積

2.2.1向量積

2.2.2向量積的應用舉例

2.2.3混合積

2.2.4雙重向量積

習題2.2

2.3空間坐標系

2.3.1空間直角坐標系

2.3.2空間向量運算的坐標表示

2.3.3向量的長度、方向角和方向餘弦

2.3.4空間解析幾何中的幾個常用公式

2.3.5柱面坐標系與球面坐標系

習題2.3

2.4平面和直線

2.4.1平面方程

2.4.2空間直線方程

2.4.3點、直線、平面間的位置關係

2.4.4點、直線、平面間的度量關係

習題2.4

2.5常見曲面

2.5.1曲面、空間曲線與方程

2.5.2球面

2.5.3柱面

2.5.4旋轉曲面

2.5.5錐面

2.5.6二次曲面

2.5.7二次曲面的種類

習題2.5

2.6空間區域的簡圖

2.6.1空間曲線在坐標面上的投影

2.6.2空間區域的表示和簡圖的畫法

2.6.3曲面或空間區域在坐標面上的投影

習題2.6

本章小結

複習題二

第3章矩陣

3.1矩陣及其運算

3.1.1矩陣的概念

3.1.2幾種特殊的矩陣

3.1.3矩陣的運算

3.1.4矩陣的行列式

3.1.5共軛矩陣

習題3.1

3.2矩陣的初等變換與初等矩陣

3.2.1初等變換

3.2.2初等矩陣

習題3.2

3.3可逆矩陣

3.3.1可逆矩陣的概念及性質

3.3.2可逆矩陣的判定及其求法

3.3.3用初等變換法求解矩陣方程

習題3.3

3.4矩陣的秩

習題3.4

3.5矩陣的分塊

習題3.5

本章小結

複習題三

第4章線性方程組

4.1消元法

4.1.1線性方程組基本概念

4.1.2消元法解線性方程組

習題4.1

4.2n維向量空間

4.2.1n維向量

4.2.2向量空間

習題4.2

4.3線性相關性

4.3.1線性組合

4.3.2向量組的線性相關性

習題4.3

4.4向量組的秩

4.4.1向量組的極大線性無關組

4.4.2向量組的秩

4.4.3向量組的秩與矩陣的秩的關係

4.4.4向量空間的基與維數

習題4.4

4.5線性方程組解的結構

4.5.1線性方程組有解的判定

4.5.2齊次線性方程組解的結構

4.5.3非齊次線性方程組解的結構

習題4.5

本章小結

複習題四

第5章矩陣的特徵值與特徵向量

5.1n維向量的內積

5.1.1內積

5.1.2標準正交基

5.1.3正交矩陣與正交變換

習題5.1

5.2矩陣的特徵值與特徵向量

習題5.2

5.3矩陣的相似對角化

5.3.1相似矩陣

5.3.2矩陣的相似對角化

5.3.3實對稱矩陣的對角化

習題5.3

本章小結

複習題五

第6章二次型

6.1二次型及其矩陣

習題6.1

6.2二次型的標準形

習題6.2

6.3二次型的規範形

6.3.1復二次型的規範形

6.3.2實二次型的規範形

習題6.3

6.4正定二次型

習題6.4

6.5二次曲面一般方程的討論

習題6.5

本章小結

複習題六

第7章一元多項式

7.1整數的整除性

7.1.1整除

7.1.2最大公因數

7.1.3因數分解唯一性定理

習題7.1

7.2數域

習題7.2

7.3一元多項式的定義及運算

習題7.3

7.4多項式的整除

7.4.1多項式整除定義及性質

7.4.2帶余除法

7.4.3綜合除法

習題7.4

7.5最大公因式

7.5.1最大公因式

7.5.2互素

習題7.5

7.6多項式的因式分解

7.6.1不可約多項式

7.6.2多項式的因式分解

7.6.3重因式

習題7.6

7.7多項式函數多項式的根

習題7.7

7.8複數域與實數域上多項式的因式分解

習題7.8

7.9有理數域上的多項式

習題7.9

本章小結

複習題七

第8章線性空間

8.1集合的映射

8.1.1映射

8.1.2映射的合成

習題8.1

8.2線性空間的定義和性質

8.2.1線性空間的定義及例子

8.2.2線性空間的簡單性質

8.2.3子空間

習題8.2

8.3基與坐標

8.3.1向量的線性相關性

8.3.2基與坐標

習題8.3

8.4基變換與坐標變換

8.4.1過渡矩陣

8.4.2坐標變換

習題8.4

8.5子空間的交與和直和

8.5.1生成子空間

8.5.2子空間的交

8.5.3子空間的和

8.5.4維數公式

8.5.5子空間的直和

習題8.5

8.6線性空間的同構

習題8.6

本章小結

複習題八

第9章線性變換

9.1線性變換的定義及性質

9.1.1線性變換的定義

9.1.2線性變換的基本性質

習題9.1

9.2線性變換的運算

9.2.1線性變換的運算

9.2.2線性變換的多項式

習題9.2

9.3線性變換的矩陣

9.3.1線性變換的矩陣

9.3.2向量的像的坐標

9.3.3線性變換在不同基下的矩陣

習題9.3

9.4線性變換的特徵值與特徵向量

習題9.4

9.5線性變換的對角化

習題9.5

9.6線性變換的值域與核

習題9.6

9.7不變子空間

習題9.7

本章小結

複習題九

第10章歐幾里得空間

10.1基本概念

習題10.1

10.2標準正交基

10.2.1正交

10.2.2標準正交基

10.2.3正交補

10.2.4歐氏空間的同構

習題10.2

10.3正交變換

習題10.3

10.4對稱變換

習題10.4

本章小結

複習題十

附錄數學歸納法

部分習題參考答案與提示

參考文獻