可交換矩陣

滿足乘法交換律的方陣稱為可交換矩陣，即矩陣滿足：。

下面是可交換矩陣的充分條件：

(1)設至少有一個為零矩陣，則可交換;

(2)設至少有一個為單位矩陣,則可交換;

(3)設至少有一個為數量矩陣,則可交換;

(4)設均為對角矩陣，則可交換;

(5)設均為準對角矩陣（准對角矩陣是分塊矩陣概念下的一種矩陣。即除去主對角線上分塊矩陣不為零矩陣外，其餘分塊矩陣均為零矩陣）,且對角線上的子塊均可交換，則可交換;

(6)設是的伴隨矩陣，則與可交換;

(7)設可逆，則與其逆矩陣可交換;

註：的逆矩陣經過數乘變換所得到的矩陣也可以與進行交換。

(8)可與交換。這一點由矩陣乘法的結合律證明。

(1)設,其中為非零實數，則可交換;

(2)設其中為正整數,為非零實數，則可交換.

(1)設可逆，若或或,則可交換;

(2)設均可逆,若對任意實數,均有,則可交換.

下列均是可交換的充要條件:

(1)

(2);

(3);

(4)

可逆矩陣可交換的充要條件是：

(

(1)設均為(反)對稱矩陣,則可交換的充要條件是為對稱矩陣;

(2)設有一為對稱矩陣，另一為反對稱矩陣，則可交換的充要條件是為反對稱矩陣.

設可交換，則有:

(1)其中都是正整數;

(2),其中是的多項式，即與的多項式可交換;

(3)

(4)(矩陣二項式定理)

設可交換,

(1)若均為對合矩陣，則也為對合矩陣;

(2)若均為冪等矩陣,則,也為冪等矩陣;

(3)若均為冪幺矩陣，則也為冪幺矩陣;

(4)若均為冪零矩陣，則均為冪零矩陣.

若可交換，則可同時上三角化。