歐拉公式

( 1)當 R= 2時，由說明 1,這兩個區域可想象為 以赤道為邊界的兩個半球面，赤道上有兩個“頂點”將赤道分成兩條“邊界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；於是 R+ V- E= 2,歐拉定理成立.。

( 2)設 R= m(m≥ 2)時歐拉定理成立，下面證明 R= m+ 1時歐拉定理也成立。

由說明 2，我們在 R= m+ 1的地圖上任選一個 區域 X ,則 X 必有與它如此相鄰的區域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之間的唯一一條邊界后，地圖上只有 m 個區域了；在去掉 X 和 Y 之間的邊界后，若原該邊界兩端 的頂點現在都還是 3條或 3條以上邊界的頂點，則 該頂點保留，同時其他的邊界數不變；若原該邊界一 端或兩端的頂點現在成為 2條邊界的頂點，則去掉 該頂點 ,該頂點兩邊的兩條邊界便成為一條邊界。於 是 ,在去掉 X 和 Y之間的唯一一條邊界時只有三種 情況：

①減少一個區域和一條邊界；

②減少一個區 域、一個頂點和兩條邊界；

③減少一個區域、兩個頂 點和三條邊界；

即在去掉 X 和 Y 之間的邊界時 ,不 論何種情況都必定有“減少的區域數 + 減少的頂點數 = 減少的邊界數”我們將上述過程反過來 (即將 X 和 Y之間去掉的邊 界又照原樣畫上 ) ，就又成為 R= m+ 1的地圖了，在 這一過程中必然是“增加的區域數 + 增加的頂點數 = 增加的邊界數”。

因此，若 R= m (m≥2)時歐拉定理成立，則 R= m+ 1時歐拉定理也成立.。

由 ( 1)和 ( 2)可知 ,對於任何正整數 R≥2,歐拉 定理成立。 .

第一個歐拉公式的嚴格證明，由20歲的柯西給出，大致如下：

從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網路。不失一般性，可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是，點，邊和面的個數保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應網路的外部。)

重複一系列可以簡化網路卻不改變其歐拉數（也是歐拉示性數）的額外變換。

● ● 若有一個多邊形面有3條邊以上，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。

● ● 除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數各減一而保持頂點數不變。

● ● （逐個）除去所有和網路外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。

重複使用第2步和第3步直到只剩一個三角形。對於一個三角形（把外部數在內），。所以。

設想這個多面體是先有一個面，然後將其他各面一個接一個地添裝上去的。因為一共有F個面，因此要添(F-1)個面.

考察第Ⅰ個面，設它是n邊形，有n個頂點，n條邊，這時E=V，即棱數等於頂點數.

添上第Ⅱ個面后，因為一條棱與原來的棱重合，而且有兩個頂點和第Ⅰ個面的兩個頂點重合，所以增加的棱數比增加的頂點數多1，因此，這時E=V+1.

以後每增添一個面，總是增加的棱數比增加的頂點數多1，例如

增添兩個面后，有關係E=V+2;

增添三個面后，有關係E=V+3;

……

增添(F-2)個面后，有關係E=V+ (F-2).

最後增添一個面后，就成為多面體，這時棱數和頂點數都沒有增加。因此，關係式仍為E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

這個公式叫做歐拉公式。它表明2這個數是簡單多面體表面在連續變形下不變的數。

當r=0或1時式子的值為0，當r=2時值為1，當r=3時值為a+b+c。

把復指數函數與三角函數聯繫起來的一個公式，，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將指數函數的定義域擴大到複數，建立了三角函數和指數函數的關係，它不僅出現在數學分析里，而且在複變函數論里也佔有非常重要的地位，更被譽為“數學中的天橋”。

這三個公式分別為其省略余項的麥克勞林公式，其中麥克勞林公式為泰勒公式的一種特殊形式

在 的展開式中把x換成±ix.

所以

由此：

， ，然後採用兩式相加減的方法得到： ， .這兩個也叫做歐拉公式。將 中的x取作π就得到：

這個恆等式也叫做歐拉公式，它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個數字聯繫到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1；以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”。

設△ABC的外心為O，內心為I，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，又記外心、內心的距離OI為d，則有

（1）式稱為歐拉公式。

為了證明（1）式，我們現將它改成

（2）式左邊是點I對於⊙O的冪：過圓內任一點P的弦被P分成兩個部分，這兩個部分的乘積是一個定值，稱為P關於⊙O的冪。事實上，如圖3.21，如果將OI延長交圓於E、F，那麼

因此，設AI交⊙O於M，則

因此，只需證明

或寫成比例式

為了證明（5）式，應當尋找兩個相似的三角形。一個以長IA、r為邊；另一個以長2R、MI為邊。前一個不難找，圖3.21中的△IDA就是，D是內切圓與AC的切點。后一個也必須是直角三角形，所以一邊是直徑ML，另一個頂點也應當在圓上。△MBL就滿足要求。

容易證明

因此（5）式成立，從而（1）式成立。

因為，所以由歐拉公式得出一個副產品，即

拓撲學又稱“連續幾何學”。

幾何學的一門分科。研究幾何圖形經過連續形變后仍能保持的性質。包括點集拓撲、代數拓撲、微分拓撲等分支。

在代數拓撲中，歐拉示性數（Euler characteristic）是一個拓撲不變數（事實上，是同倫不變數），對於一大類拓撲空間有定義。它通常記作。

二維拓撲多面體的歐拉示性數可以用以下公式計算：

其中V、E和F分別是點、邊和面的個數。特別的有，對於所有和一個球面同胚的多面體，我們有

特徵函數用歐拉公式：隨機變數X的特徵函數定義為

眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數之間的關係。現將歐拉這個頗有價值的公式列在這裡：其中，f表示我們施加的力，F表示與其對抗的力，e為自然對數的底，k表示繩與樁之間的摩擦係數，a表示纏繞轉角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比。