集合論公理系統

集合論公理系統是集合論的一組特定的公理系統，在集合論公理系統中，集合是一個不加定義的原始概念，集合和屬於關係“∈”是通過公理來刻畫的，雖然每條公理都不是藉助於直觀而是藉助於嚴謹的形式語言加以刻畫的，然而公理的背景都是很深刻和直觀的，它們來源於康托爾(G.F.P.Cantor)的集合論，是從經典集合論中整理和抽象出來的基本原則。每一公理都刻畫集合的某一基本性質。把某些公理放在一起組成刻畫集合特徵的若干基本原則，就稱為集合論的一個公理系統。公理系統的選擇不是惟一的，但是應該遵循一些基本原則。如系統的相容性(協調性)、完備性以及獨立性等要求。1908年出現兩個著名的公理系統，這就是策梅洛(E.F.F.Zermelo)的公理系統和羅素(B.A.W.Russell)的類型論，前者經斯科倫(A.T.Skolem)、弗倫克爾(A.A.Fraenkel)的改進與補充，成為最易於理解、影響最廣的一個系統，被稱為ZF系統。1925年，馮·諾伊曼(J.von Neumann)又提出一個系統，后經貝爾奈斯(P.Bernays)、哥德爾(K.Go¨del)修改形成GB系統(亦稱NGB系統)，除上述兩個著名的系統外，還有奎因系統、王浩系統、阿克曼系統、莫利和斯科特系統。

建立眾多集合論公理系統的背景是在康托爾集合論中包含著深刻的、豐富的、新的概念和方法，悖論的發現促使人們藉助於公理化方法，以期排除集合論中已知的悖論，並系統地整理康托爾的理論和方法，評價集合論公理系統的科學標準是：

1.能夠描述康托爾理論的豐富內容，儘可能多地建立康托爾理論中已有的定理。

2.能夠避免已經發現的悖論。

3.便於解決集合論中尚未解決的問題，主要是連續統假設和選擇公理。

4.系統的協調性、獨立性、完備性以及是否便於理解和表達等。

集合這個概念是非常基本和自然的，並且自古以來在一些數學著作中就已經使用。然而，人們通常把集合創始人歸功於19世紀中期德國數學家康托爾(G.Cantor)，因為他對集合論作出巨大貢獻。在集合論發展的開始階段，康托爾並不明顯地從公理出發來討論集合論，可是，剖析康托爾集合論中的許多證明便知，幾乎他所證明的一切定理均能從三個公理得出，這三個公理是：

①外延公理：如果兩個集合中各個元都是相同的，則它們相等。

②抽象公理：任給一個性質，都有一個滿足該性質的客體所組成的集合。

③選擇公理：每個集合都有一個選擇函數。

但是，毛病卻出在抽象公理上。1903年，英國哲學家和數學家羅素(B.A.M.Russell)發現“由不為自身的成員這一性質的所有客體的集合”會導出矛盾來，這就是著名 羅素悖論，由於悖論在推動公理化發展方面有重要作用，在這裡給出它的推導，為了便於符號表述，先引進一個表示屬於關係的二位謂詞∈，如“”，讀作x屬於y，或者x為y的元(或元素、成員)，或者x在y中，再使用已熟悉的數理邏輯符號，則抽象公理可表為：

其中，是不以y為自由變元的公式(公式的定義下面給出)，為了得出羅素悖論，取 為“x不為x的成員”，即 ．於是，得到抽象公理的一個特例：

在(2)中取，可得

而(3)等價於，即導出矛盾。由此可見，這個簡單推導對集合論的公理基礎有深遠影響。它表明了把(1)作為公理是承認得太多了。如果堅持樸素的邏輯，便不能在自身不矛盾的方式下堅持每個性質均存在一個具有該性質的客體構成的集合。

由於羅素悖論對抽象公理的巨大衝擊，蘊育著一個新的更加完善的公理即將產生。1908年德國數學家策墨勒(E.Zermelo)提出了“子集公理”，也稱為“分出公理”，它允許從給定集合中分出滿足某種性質的客體並且恰好由這些客體組成一個新集合．對於(1)，子集公理的精確形式表為：

其中y不為 的自由變元，由(1)到(4)的改變看來是微小的，然而卻是十分有效的。(1)無條件斷言集合的存在，而(4)完全是有條件的，這個條件稱為入集條件，首先要給出集合z，然後才能斷言子集y的存在。可見，子集公理能避免悖論，從而使公理化集合論得以存在和發展。

集合論與其它學科一樣，也有自己的目標語言，該語言的符號可分3類：常元符，變元符和數理邏輯符號．

①常元符號：有三個，它們是隸屬關係符∈，空集符∅，相等符=。

②變元符號：為集合變元，而為以集合或個體為值的一般變元，有時還標出足碼或肩碼。

③數理邏輯符號：聯結詞，量詞以及標點符。

與此同時，也給出常用到的元語言符號，它們是永真蘊涵符，永真等價符，定義符：，用粗體字母表示以目標語言的變元和常元符∅為值的元語言變元；用粗體字母 以及希臘字母 Φ和 Ψ表示以目標語言的原始公式為值的元語言公式。

稱上述目標語言中三類符號的有窮序列為表達式，根據其結構又分別定義為原始原子公式和原始公式。

公理集合論避免悖論，使集合論得以存在和發展，集合論的公理系統，本章給出了8個公理，它們是：

外延公理：具有相同的各成員的兩集合是相等的。

子集公理：存在由集合A中滿足某種性質的那些元素構成的集合B，稱B為A的子集。

偶集公理：存在由集合A、B構成集合C。

聯集公理：存在由集合A的成員的成員構成集合C。

正則公理：每個非空的集合，都有一極小元。

無窮公理：有一歸納集的存在。

冪集公理：存在由集合A的所有子集構成的集合B。

此外，該公理系統還有兩個公理：代換公理，選擇公理。