解析函數論

解析函數論(analytic function theory)是複變函數論的主要研究對象，如果說以測度為基礎的實變函數論是研究那些性質不大“好”的函數的話，那麼，解析函數論則是研究那些性質非常“好”的函數。解析函數論的理論基礎是19世紀奠定的，柯西(A.-L.Cauchy)、外爾斯特拉斯(K.(T.W.Weierstrass))和黎曼((G.F.)B.Riemann)是這一時期的三位傑出人物，前兩位分別應用積分和級數研究複變函數，黎曼則研究了複變函數的映射性質。到20世紀，解析函數論已成為數學的重要分支之一，它的領域不斷擴大，逐步發展成了一門龐大的學科，除了解析函數論的基本理論之外，還有黎曼面、共形映射、擬共形映射、泰希米勒空間理論、整函數與亞純函數論、特殊函數論、調和函數論、單葉函數、Hp空間理論、代數函數、多複變函數等。另外，這門學科對其他學科如空氣動力學、流體力學、電學、熱學、理論物理等，以及數學中其他分支如微分方程、積分方程、概率論、數論等，都有重要的應用。

1主要內容複變函數解析函數

2魏爾斯特拉斯

主要內容

解析函數論的主要內容有複數與複變函數（複數表示法及其代數運算、序列極限及無窮大、複變函數的極限與連續性、複函數的導數與微分、複函數的積分、複變函數項級數等）、復變初等函數（有理函數、指數函數、三角函數與雙曲函數、根式函數、對數函數、一般冪函數與一般指數函數、反三角函數與反雙曲函數等）、解析函數的基本特徵、解析函數的重要性質、留數理論及其應用、解析開拓、單葉解析映照、複變函數方法在邊值問題中的應用。

複變函數

複變函數(function of a complex variable)是實變函數的推廣，自變數和因變數均為復值的函數稱為複變函數。設E為一複數集，若按照某一規律，E內每一複數z都有一確定的複數w與之對應，則稱在E上確定了一單值複變函數，若對於自變數z的一個值，可能有幾個或無窮多個w的值與之對應，則稱在E上確定了一個多值複變函數，E稱為該函數的定義域；函數值w的全體所成的集M稱為函數的值域。

解析函數

解析函數(analytic function)亦稱全純函數或正則函數，是解析函數論的主要研究對象，對於定義於複平面上區域D內的復變數z的單值函數f(z)，如果它在D內的每個點z的一個鄰域內都可以用z-z的冪級數表示，則稱f(z)在D內解析，外爾斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))從冪級數出發，建立了解析函數的級數理論。如果在D內的每個點z處，極限(稱為函數f(z)在z點的導數)都存在，柯西(Cauchy，A.-L.)稱f(z)在D內是解析的，這兩個定義是等價的，函數在D內解析的另一個等價條件是：在D內的每一個點處存在連續偏導數，並且滿足柯西-黎曼方程(或稱柯西-黎曼條件)：

這個條件有時簡稱C-R條件或稱達朗貝爾-歐拉條件。函數f(z)在區域D內解析的第四個等價條件是莫雷拉定理(參見“莫雷拉定理”) 。

魏爾斯特拉斯

卡爾·魏爾斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)，德國傑出數學家，數學分析算術化的完成者，解析函數論的奠基人，在解析函數、橢圓函數、代數領域、變分學、微分幾何、數學分析等方面，他都取得了卓越成就。

魏爾斯特拉斯1815年出生在德國西部的一個小村莊，他的父親威廉·魏爾斯特拉斯是受法國雇傭的海關職員，威廉在家裡十分嚴厲而且專斷。14歲時，卡爾進入一所天主教預科學校，在那裡學習德語、拉丁語、希臘語和數學，從預科學校剛畢業，不容卡爾有半句分辯，父親就把他送到波恩大學學習法律和商業，希望他將來在普魯士民政部當一名文官，卡爾對法律和商業毫無興趣，在波恩大學，他把相當一部分時間用在數學上，他和阿貝爾一樣，“直接向大師們而不是向他們的學生學習”，他常常獨自鑽研拉普拉斯的《天體力學》、雅可比的《橢圓函數新理論基礎》等著作。

大學四年，卡爾沒有得到他父親所希望的法律博士學位，連碩士學位也沒有得到。1839年，卡爾被送到蒙斯特學院學習，在那裡，卡爾遇到一位不可多得的良師——古德曼，古德曼指導他完成了把橢圓函數表示成冪級數的商的結果，這是橢圓函數理論的一個重要發現。

1841年，卡爾取得了教師正式證書．26歲的他從此開始了長達15年的中學教書生涯，其中包括30歲到40歲這一段通常被認為是科學發明創造的黃金歲月。1842年，卡爾到普魯士一所大學預科學校預備班任數學和物理的助理教師，不久晉陞為正式教師，除了數學和物理，他還教德文、地理、書法和體操。白天，他忙著上課、批改作業，一到晚上，他就關上房門，點起蠟燭，通宵達旦地在數學之宮神遊，攻讀研究阿貝爾等人的數學著作，並寫了許多論文。1853年，卡爾將一篇關於阿貝爾函數的論文寄給了德國數學家克列爾主辦的《純粹與應用數學雜誌》，隨即引起了轟動，他也因此獲得博士學位。1856年，卡爾被任命為柏林工業大學數學教授，同年被選為柏林科學院院士，後來他又轉到柏林大學任教授，晚年享有很高的聲譽，幾乎被看成是德意志的民族英雄。

魏爾斯特拉斯還是一位無與倫比的數學教師，他刻苦鑽研、嚴謹治學，在當中學教師的15年中，儘管教學任務繁重，工作條件很差，魏爾斯特拉斯仍堅忍不拔、孜孜不倦地鑽研數學，經常達到廢寢忘食的程度。1850年起，他患了眩暈症，常持續一小時以上，直到一陣摧人心肺的嘔吐后才見消退．這種腦痙攣症折磨了他十餘年，但他頑強地堅持教學和研究。實際上，在當中學教師的年代，他是以犧牲健康為代價從事數學研究的，他在柏林大學仍承擔巨大的教學工作負荷。1860年3月，在一次講課中他突然暈了過去，1861年底他完全病倒，在近兩年中一直未能回到科能，他就堅持上課，常常只能坐著講授，讓優秀學生書寫黑板，他善於用一種不可言傳只能意會的精神激發學生的興趣和創造欲。他講課時不誇大其辭、嘩眾取寵；他關心學生，循循善誘，慷慨地指導學生論文課題，在討論班上不斷提出富有成果的想法，使之成為學生研究的主題，甚至把自己尚未發表也未留紀要的手稿借給學生。

魏爾斯特拉斯富有詩才，他曾說過，如果一個數學家不是某種程度上的詩人，他就永遠不會成為一個完整的數學家，但有點奇怪的是，不像很多數學家喜歡音樂一樣，他討厭音樂，他是天主教徒，但在宗教觀點上不走極端。

魏爾斯特拉斯品德高尚，他熱愛數學，熱愛教育事業，熱情指導學生，終身孜孜不倦，他不計個人名利，允許學生們或別人把他的研究成果用種種方式傳播，而不計較功績屬誰的問題，這種高貴品德也是十分可貴的。

1897年初，魏爾斯特拉斯染上流行性感冒，後轉為肺炎，終至不治，於2月19日溘然長逝，享年82歲，數學家龍格曾高度讚揚魏爾斯特拉斯“自下而上地構築了完美的數學大廈。”這是對魏爾斯特拉斯的一個很好概括。

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