理想類群

數域K的兩個分式理想A和B稱為等價的，指存在α∈K使A=αB。K的分式理想等價類群體構成的乘法群H(K)即稱為K的理想類群。換句話說，H(K)=I/I，式中I為K的分式理想群，I為主理想子群。H(K)的階段h(K)是有限數，稱為K的理想類數或類數。K為主理想域(即K的整數環為主理想環)當且僅當h(K)=1。類群和類數是數域的重要數論特徵和研究對象。

理想類群也是衡量戴德金環與主理想整環相距程度的群。設G(R)是戴德金環R的全部分式理想所構成的群，P(R)是主分式理想群。它們都是交換群且P(R)是G(R)的子群，其商群G(R)/P(R)=I(R)稱為R的理想類群。R的每個分式理想a在I(R)中的像稱為a所在的理想類。於是，兩個分式理想a，b同屬於一個理想類當且僅當在R的商域K中存在非零元素d使a=(d)b。所以，I(R)是一階群，當且僅當P(R)=G(R)；又當且僅當R的每個整體理想均為主理想；又當且僅當R為主理想整環。

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群；時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換條件的群，稱為交換群。

群體是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群居。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：

1.∅∈I;

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I;

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有應用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上面的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與么元);

2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

則稱I為B上的理想。

理想概念是斯通(Stone，M.H.)於1934年提出的。

數域是一種可進行除法運算的數環。至少含兩個數的數環F，若對任意a，b∈F，b≠0，a/b∈F，則稱F是一個數域。

全體有理數集、全體實數集、全體複數集都構成數域。全體形如a+b(a，b有理數)的數集構成數域。整數環不是數域，偶數環也不是數域。

任何數域都包含有理數域。複數域是最大的數域；有理數域是最小的數域。任何數域中都含有無窮多個整數，特別是，都含有無窮多個整數。

在數域上可以討論解線性方程組。給定數域F上的線性方程組(即係數和常數項都是F中的數)的可解性，並不因F的擴大而改變，即若該方程組在F中無解，則在比F更大的數域E中仍然無解；若在F中有唯一解，則它也是在E中的唯一解；若在F中有無窮多解，則在E中也有無窮多解(雖然可能得到不在F中的解)。

在初中剛剛學過有理數之後，就開始學習解線性方程組，而它的結果，在實數、複數概念引入之後並不改變。

但是，討論數域F上多項式f(x)在F中的根時，由於多項式分解與所在數域F有關。因此在比F更大的數域E上，f(x)可能會有本質上不同於F中的根。如f(x)=x+1在有理數域Q及實數域R中都沒有根，而在複數域C中有根i及-i。自然，這也可以說成：f(x)=x+1在Q及R上不可分解(不可約)，而在C上，f(x)=(x+i)(x-i)。

非退化為{0}且沒有0因子的交換環稱為整環.

環Z是整環. 設n為非零自然數；為使環Z/nZ為整環，必須且只須n是素數. 任一交換體是整環對任一整環A，係數取自A中含一個未定元的全體多項式之環A[X]，係數取自A中的全體形式級數之環A[[X]]都是整環。由此推知，係數取自交換體K中含p個未定元的全體多項式之環K[X，X2，…，Xp]及含p個未定元的全體形式級數之環K[[X1，X2，…，Xp]]都是整環。

戴德金環是理想可以惟一分解的環。最重要的例子是：數域的整數環、光滑曲線的坐標環。按定義，滿足下述三條件的整環R稱為戴德金環：

1.R是諾特環。

2.R的真正理想均為極大理想。

3.R在其商域F(≠R)中是整閉的。

事實上，對每個戴德金環R及其商域F，總存在F的離散素除子集S使{F，S}為普通算術域而R為S整數環。整環R(≠其商域F)為戴德金環當且僅當其每個真理想均為極大理想的面積。也等價於其每個分式理想均可逆，即分式理想全體構成群。戴德金環R在其商域F的有限可分擴張E中的整閉包R也為戴德金環，且E是R的商域。

主要理想整環是比單一分解環範圍更窄的整環類。若一個環R的任意理想都是主理想，則稱R為主理想環。若整環R是主理想整環，則R稱為主理想整環。整數環Z及域上一元多項式環都是主理想整環。主理想整環必為單一分解環，反之不真。