sign函數

sign(x)或者Sign(x)叫做 符號函數，在數學和計算機運算中，其功能是取某個數的符號（正或負）：

當，;

當，;

當，；

在通信中，sign(t)表示這樣一種信號：

當，; 即從時刻開始，信號的幅度均為1；

當， ；在t=0時刻之前，信號幅度均為-1

符號函數（signum）可由階躍信號得來。對於符號函數在跳變點可以不予定義，或規定。

符號函數（一般用sign(x)表示）是很有用的一類函數，能夠幫助我們在幾何畫板中實現一些直接實現有困難的構造。

符號函數的定義如下：

能夠把函數的符號析離出來，應用他來定義我們熟悉的絕對值函數就可以改寫成

在幾何畫板中(或者一般的程序設計軟體中)有絕對值的運算，所以不必如此，但是，比較大小在幾何畫板中沒有，在一般的程序中都可以很輕鬆的處理，這裡恐怕就得藉助於符號函數了。

給定兩個數值A和B,sgn(A-B)就代表了兩者的大小。但是我們需要的是返回一個那個大（或小）的值，就得費些周折了。先給出另一個函數h(x)=sgn(1+sgn(x))，不難看出如下結論：

就可以表示兩者之間的較小的。

就可以表示兩者之間的較大的。

這個符號函數的應用是很巧妙的，還有更巧之處，若把A,B看成是兩個變數，那麼我們用符號函數表出了， ，這是一個二元函數，在中學的範圍內沒有太多的研究的必要，但若把x,y分別看成一個關於第三個變數的函數，就是x(t)以及y(t),問題就會轉化回來，就變成了函數 ,這個函數還是比較讓我們感興趣的，就是函數:

於是，按照幾何畫板中的方式進行定義函數，並且畫出函數圖象。下圖以sinx和cosx為例畫出了圖象。

其實，原來的常數A,B看成常函數，比較兩個數的大小自然就可以看成是一種特殊情況了。

這裡符號函數的應用顯得很恰當，讓我們再回顧一下，先是把sgn(x)加工成h(x),h(x)起到的作用是平衡兩者之間那一個為0的，那麼我們不妨嘗試一下用另一種方法來定義h(x)。

幾乎就可以象前面一樣應用了，但是存在一個的問題，可以把點帶入。

對於這個數值就象是加權平均一樣，只要是，那麼。

於是，我們得到了新的形式的

從表面上沒有差別，但“內核”的構造已經有了變化。更有趣的是，如果你把這個新的式子還原成sgn(x)表述，那麼，認識就會更深入一步。

這個公式的可接受程度比前兩者都好，應該很熟悉，無論怎麼講，比較兩個量的大小已經很豐富了。

我們還可以就勢討論下去，一方面，可以把問題的從兩個量到多個量，另一方面，可以考慮這個符號函數在指導其他函數的性質上的應用。

用h(x)進行複合，在數學式子上太麻煩，但我們可以使用幾何畫板4中的定製工具，一旦以兩個函數為基礎定製了工具 ,就可以再次的使用進行定義，得到三個，四個以致多個的函數最值工具。

本圖是先定義了f(x),g(x)和q(x)的基礎上，定義了工具,之後用這個工具比較h(x)和前面產生的r(x),畫出圖象，之後就可以在這個基礎上創建工具。

可用於說明可積函數不一定存在原函數由於是的唯一跳躍間斷點，故在任何以為內點的區間上，sgn(x)不存在原函數。而在任何以閉區間[a,b]上Rieman可積，且，在處 不可導，F(x)並不是的原函數，說明可積函數不一定存在原函數，有助於弄清楚函數的Rieman可積與存在原函數之間互不蘊含的關係，還可以作為原函數存在定理中條件f(x)在[a,b]上連續不滿足時，結論不成立的反例，強調條件不可缺少而引起重視。

用於簡化帶絕對值函數積分的計算

對含有絕對值的函數 ,可先把絕對值去掉化為分段函數求解 ,也可以用一種更為簡單的求解方法 ,就是引入

符號函數來簡化積分的運算。

符號函數在積分過程中可視為常數係數，是解題過程簡化。因此對於一些含有絕對值的函數可用此法解決。

我們再談論一下其他方面的拓展，其實，我們可以看得出，在整個的圖象的繪製中，的作用，他是描述出了定義域的類別，在不同的定義域上，我們選擇不同的解析式來作圖，而使其他的解析式無效，這種方式很容易讓人聯想到分段函數，不過分段函數的定義域的決定是取決於一個外部的因素，是人為的劃分的區域，那麼，我們就可以引如一個外部的量（比如x軸上的一個點來劃分）來劃分定義域，在劃分好的區域上面選擇解析式作圖。比如，以平面上的任意一點D的橫坐標劃分兩個區域，在其左面畫出y=sinx,右面畫出,並且定製了工具。

三個函數的複合，如同前面，這裡不再贅述。

符號函數從本身的分段特性出發，很好處理了函數的區域的劃分，解決了函數的特殊複合，更多的應用還要逐漸實踐中發現。

用艾佛森括弧定義：

任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積：

符號函數是絕對值函數的導數：

除了在0，符號函數可微分，其導數為0。透過一般化微分概念，可以說符號函數是狄拉克δ函數的兩倍：

它和單位步階函數的關係：

其定義域為R，值域為；

有唯一的跳躍間斷點;

單調性：它是不嚴格遞增的非周期函數；

奇偶性：由 可知它在定義域R內是奇函數；

可導性：它在非原點處都可導，且導數為0；

它在上沒有原函數；

它在任意區間 上都Rieman可積;