全連續運算元

在線性代數中，關於線性變換所相應的線性方程組的求解問題已被完全解決了，存在 使其主要結果是：非齊次線性方程組有惟一解，當且僅當相應的齊次方程組只有零解；如果齊次方程是退化的，那麼共軛方程也是退化的，非齊次方程組可解當且僅當自由項必與共軛的齊次方程組非零解相正交，並且在可解時，還可寫出它的解的一切形式（即通解）。20世紀初，在討論第二類線性積分方程時，也得到了和線性方程組完全類似的弗雷德霍姆理論。後來，人們發現這種理論對（線性）全連續運算元也是成立的。

下面是由F.里斯和J.P.紹德爾完成的所謂巴拿赫空間上全連續運算元的弗雷德霍姆理論：

設T是巴拿赫空間x上的全連續運算元，①當x是無限維時，零必是T的譜點，且T的譜的極限點只可能是零；②如果是T的譜點，則它必是T的特徵值，也是T的特徵值，而且T和 T相應於λ的特徵子空間是兩個維數相同的有限維子空間；

③如果是T的任意有限個不同的特徵值,為相應的特徵向量，則必線性無關;④如果λ,μ分別是T,T的譜點，並且時，則T相應於λ的特徵向量x與T相應於μ的特徵向量ƒ必“正交”,即;⑤設,則方程對一切可解的充要條件是只有零解；⑥如果λ是T的非零特徵值，則方程可解的充要條件是y與T相應於λ的一切特徵向量ƒ正交;⑦如果是T的非零特徵值，則在的某個鄰域中，必有P.A.洛朗展開：式是 x上有界線性運算元。

對希爾伯特空間上的全連續運算元T,則進一步還可以找到兩個就範正交系{en}和{φn}以 及一列非負實數λn→0，使 稱為T的奇異數。如果奇異數滿足 就稱T為σp類全連續運算元，而其中σ1類運算元又稱為跡類運算元，σ2類運算元稱為希爾伯特-施密特運算元。對跡類運算元T，它的所有特徵值組成一個絕對收斂級數，稱T的特徵值之和為跡，記為trT。對希爾伯特－施密特運算元，以它奇異數平方和的平方根作范數，也成為一個希爾伯特空間，這時內積。

全連續運算元類有一個重要的代數性質：在巴拿赫空間x的有界線性運算元全體B(x)中，全連續運算元全體H(x)是一個閉的雙側理想，即當T為全連續運算元時，對任何,ATB仍是全連續運算元。在無限維空間中，單位運算元不是全連續的，所以H(x)是B(x)的一個真理想。由此可以構造一個商代數B(x)/H(x)，稱為卡金代數。

設π為B(x)到B(x)/H(x)的典型映射:,如果π(A)在B(x)/H(x)中可逆，就稱A為弗雷德霍姆運算元。這時,R(A)為閉的，且KerA和x/R(A)是有限維空間。定義A的指標,x上的弗雷德霍姆運算元全體記為F(x)。A到indA的映射是F(x)到整數群Z的連續同態，而且在緊擾動下不變，即對，成立。

在希爾伯特空間的情況下，若，則稱A為本質正常運算元。對本質正常運算元，利用弗雷德霍姆指標，有下面非常重要的結果。

布朗－道格拉斯－菲爾莫定理 在復可分希爾伯特空間H中，T1，T2為H上本質正常運算元，則存在酉運算元U，的充分必要條件，。

在非線性運算元理論中也可引入全連續運算元，雖然它失去了上述

全連續線性運算元的許多重要性質，但仍是很重要的一類非線性運算元。