廣義逆矩陣

廣義逆矩陣在數理統計、系統理論、優化計算和控制論等多領域中有重要應用，廣義逆矩陣理論與應用的研究是矩陣論的一個重要分支。

廣義逆的思想可追溯到1903年（E.）I.弗雷德霍姆的工作，他討論了關於積分運算元的一種廣義逆（他稱之為偽逆）。1904年，D.希爾伯特在廣義格林函數的討論中，含蓄地提出了微分運算元的廣義逆。而任意矩陣的廣義逆定義最早是由E.H.穆爾在1920年提出的，他以抽象的形式發表在美國數學會會刊上。當時人們對此似乎很少注意。這一概念在以後30年中沒有多大發展。曾遠榮在1933年，F.J.默里和J.馮·諾伊曼在1936年對希爾伯特空間中線性運算元的廣義逆作過討論。20世紀50年代圍繞著某些廣義逆的最小二乘性質的討論重新引起了人們對這個課題的興趣。1951年瑞典人A.布耶爾哈梅爾重新發現了穆爾所定義的廣義逆，並注意到廣義逆與線性方程組的關係。T.N.E.格雷維爾、C.R.拉奧和其他人也作出了重要的貢獻。1955年，彭羅斯證明了存在唯一的滿足前述性質①～④，並以此作為的定義。1956年，R.拉多證明了彭羅斯定義的廣義逆與穆爾定義的廣義逆是等價的，因此通稱A+為穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣。

若A為非奇異矩陣，則線性方程組 的解為，其中A的逆矩陣 滿足 (I為單位矩陣)。若A是奇異陣或長方陣， 可能無解或有很多解。若有解，則解為 ，其中у是維數與A的列數相同的任意向量，X是滿足 的任何一個矩陣，通常稱X為A的廣義逆矩陣，用 、或 等符號表示，有時簡稱廣義逆。當A非奇異時， 也滿足，且 。故非異陣的廣義逆矩陣就是它的逆矩陣，說明廣義逆矩陣確是通常逆矩陣概念的推廣。

存在一個唯一的矩陣M使得下面三個條件同時成立：

(1) ;

(2);

(3)與 均為對稱矩陣。

這樣的矩陣M成為矩陣A的Moore-Penrose廣義逆矩陣，記作 .

1955年R.彭羅斯證明了對每個m×n階矩陣A，都存在唯一的n×m階矩陣X，滿足：① ；②；③ ；④ 。通常稱X為A的穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣，簡稱M-P逆，記作。當A非奇異時，也滿足①～④，因此M-P逆也是通常逆矩陣的推廣。在矛盾線性方程組的最小二乘解中， 是范數最小的一個解。

若A是n階方陣，k為滿足的最小正整數（rank為矩陣秩的符號），記作 ，則存在唯一的n階方陣X，滿足：(1) ；(2) ； (3) 。

通常稱X為A的德雷津廣義逆矩陣，簡稱D逆，記作Ad，A(d)或AD等。雖然它和線性代數方程組的解無關，但它在線性差分方程、線性微分方程、最優控制等方面都有應用。根據實際問題需要還定義了其他各種類型的廣義逆矩陣，如網路理論中用到的博特-達芬逆矩陣等。一般說來，它們都具有下列一些性質：當A非異時，廣義逆矩陣就是；廣義逆矩陣必存在；廣義逆矩陣具有逆矩陣的某些性質(或適當修改後的性質)，如，等等。

廣義逆矩陣的計算方法大致可分為三類：以滿秩分解和奇異值分解為基礎的直接法，迭代法和其他一些常用於低階矩陣的非平凡方法。

以 的計算為例。若A是一個秩為r的階非零矩陣，記作：，有滿秩分解 。

其中

則

即將廣義逆矩陣的計算化為通常逆矩陣的計算。常用LU分解和QR分解等方法實現滿秩分解，然後求出。

若A有奇異值分解，

其中U、V為m階和n階酉矩陣， 是階矩陣，∑是r階對角陣，

對角元 是A的r個非零奇異值（的非零特徵值的平方根），則 。

其中 ，是階矩陣。也可用豪斯霍爾德變換先將 A化為上雙對角陣，然後再對使用QR演演算法化為矩陣，於是 ，故。

設是的最大非零特徵值，若，則計算的一個迭代法是， ，當時，收斂於。

格雷維爾逐次遞推法也是計算的常用方法。設A的第k列為

則

式中

，

，

。

1955年以後，出現了大量的關於廣義逆矩陣的理論、應用和計算方法的文獻。70年代還出版了一些專著和會議錄，指出廣義逆矩陣在控制論、系統辨識、規劃論、網路理論、測量、統計和計量經濟學等方面的應用。