函數圖像

Functions images(函數的圖象)

點集叫做函數的圖象

自變數x和因變數y有如下關係：

（k，b為常數，）

則稱y是x的一次函數。

特別地，當時，y是x的正比例函數。

若兩個變數x，y間的關係式可以表示為（k，b為常數，）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變數，y為因變數）。特別地，當時，稱y是x的正比例函數。

1． 作法與圖形：通過如下3個步驟（1）算出該函數圖象與Y軸和X軸的交點的坐標（2）描點；（3）連線，可以作出一次函數的圖象——一條直線。

2． 性質：在一次函數上的任意一點，都滿足等式：。

3． k，b與函數圖象所在象限。

當時，直線必通過一、三象限，從左往右，y隨x的增大而增大；

當時，直線必通過二、四象限，從左往右，y隨x的增大而減小；

當時，直線必通過一、二象限；當時，直線必通過三、四象限。

特別地，當時，直線通過原點表示的是正比例函數的圖象。

這時，當時，直線只通過一、三象限；當時，直線只通過二、四 象限。

4. （1) 函數關係中自變數可取值的集合叫做函數的定義域。求用解析式表示的函數的定義域，就是求使函數各個組成部分有意義的集合的交集，對實際問題中函數關係定義域，還需要考慮實際問題的條件。 (2)值域與定義域內的所有x值對應的函數值形成的集合，叫做函數的值域。（3)單調性定義：對於給定區間上的函數

已知點，請確定過點A、B的一次函數的表達式。 （1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為。如果，則函數解析式為所以說正比例函數是特殊的一次函數。 （2）因為在一次函數上的任意一點，都滿足等式。所以可以列出2個方程： ① 和②。 （3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最後得到一次函數的表達式。 （5）在中，使x,y分別等於0，可求出兩個坐標系必定經過的兩點和。

1.當時間t一定，距離S是速度v的一次函數。。

2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。

形如 (k為常數且) 的函數，叫做反比例函數。

自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。

反比例函數的圖象為雙曲線。

如圖，上面給出了x分別為正和負（2和-2), 時的函數圖象。

函數叫做雙鉤函數。

該函數是奇函數，圖象關於原點對稱。位於第一、三象限。

當時，由基本不等式可得：

當且僅當,即時取等號。

故其頂點坐標為，圖象在上是單調遞減的，在上是單調遞增

同理：當時，由基本不等式可得：

當且僅當,即時取等號。

故其頂點坐標為，

圖象在上是單調遞增，

在上是單調遞減的。

當 時可轉化為的情況

通常，作圖時，x看做0。代入得y，也就是縱軸坐標

有時，通過平移，把形如也看成反比例函數。

特殊位置關係

當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數解析式中K值（即一次項係數）相等

當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數解析式中K值互為負倒數（即兩個K值的乘積為-1）

一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：

（a，b，c為常數，，且a決定函數的開口方向，時，開口方向向上，時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,越大開口就越小,越小開口就越大.）

則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

表達式

一般式：（a，b，c為常數，）

頂點式： [拋物線的頂點]

交點式：[僅限於與x軸有交點和 的拋物線]

註：在3種形式的互相轉化中，有如下關係:

圖象

在平面直角坐標系中作出二次函數的圖象，

可以看出，二次函數的圖象是一條拋物線。

性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線）

2.拋物線有一個頂點P，坐標為

當時，P在y軸上；當時，P在x軸上。

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

當時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口。

越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即），對稱軸在y軸左；

當a與b異號時（即），對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交於

6.拋物線與x軸交點個數

時，拋物線與x軸有2個交點。

時，拋物線與x軸有1個交點。

時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（ 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）

位置關係

二次函數各式中，)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

解析式 頂點坐標 對 稱 軸

當時，的圖象可由拋物線向右平行移動h個單位得到，

當時，則向左平行移動個單位得到．

當時，將拋物線向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到的圖象；

當時，將拋物線向右平行移動h個單位，再向下移動個單位可得到的圖象；

當時，將拋物線向左平行移動個單位，再向上移動k個單位可得到的圖象；

當時，將拋物線向左平行移動個單位，再向下移動個單位可得到的圖象；

因此，研究拋物線 的圖象，通過配方，將一般式化為的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

2．拋物線的圖象：當時，開口向上，當時開口向下，對稱軸是直線，頂點坐標是．

3．拋物線若，當時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大．若，當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小．

4．拋物線的圖象與坐標軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為；

(2)當，圖象與x軸交於兩點和，其中的是一元二次方程

的兩根．這兩點間的距離

當．圖象與x軸只有一個交點；

當．圖象與x軸沒有交點．當時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有；當時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有．

5．拋物線的最值：如果，則當時，y最小(大)值．

頂點的橫坐標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱坐標，是最值的取值．