弗雷德霍姆積分方程

, (7)

, (8)

式中

。

應用阿達馬引理可估計,從而推知級數(7)、(8)對於一切復值λ是絕對一致收斂的，因此，D(λ)、D(x，y；λ)都是關於λ的整函數，並分別稱為弗雷德霍姆行列式和弗雷德霍姆一階子式。可以證明，解核可表為Г(x,y；λ)=D(x，y；λ)/D(λ)。這表明解核是λ的半純函數。同時，解核的極點都是D(λ)的零點，也都是齊次方程(6)的特徵值。反之亦然。

弗雷德霍姆定理　弗雷德霍姆對於第二種積分方程的研究，可歸結為如下的四個定理，總稱為弗雷德霍姆定理。它是弗雷德霍姆積分方程理論的基礎。

第一定理　在λ複平面的任意有限區域內，方程(2)至多只有有限個特徵值。

第二定理　每個特徵值λ至少對應於一個特徵函數，且所對應的線性無關的特徵函數的個數是有限的。這個有限數稱為λ的秩。

第三定理　設λ是核K(x,y)的特徵值，則 憳是共軛核的特徵值。齊次方程 (6)與其共軛齊次方程具有相同的秩。

第四定理　若λ是核K(x，y)的特徵值，則非齊次方程(2)可解的充分必要條件為：方程(2)的自由項ƒ(x)與其共軛齊次方程的所有線性無關解ψi(x)正交，即

，

式中r是λ的秩。

因此，非齊次方程(2)，或者對任意自由項可解，或者相應的齊次方程有非零解。這一結論通常稱為弗雷德霍姆備擇定理。

對於第一種弗雷德霍姆積分方程，若φ(x)是它的解，又有非零的任意函數ψ(x)使得，則φ(x)+ψ(x)也是它的解。E.施密特對方程(1)的特徵值和特徵函數給出了如下的定義：若對於某實數λ存在非零的函數φ(x)和ψ(x)，滿足方程組

,

,

則稱λ是方程(1)的特徵值，而【φ (x),ψ(x)】稱為對應於λ的相伴特徵函數對。易知,φ(x)和ψ(x)又分別為下面的第二種弗雷德霍姆積分方程的特徵函數：

，

式中

；

，

式中

。

而K壟（x,y）(i=1,2)都是對稱正核，故λ是實數，不妨認為λ > 0。方程（1）一定存在一組正特徵值{λi}和對應的正交標準的相伴特徵函數對{φi(x)，ψi(x)}。有時也稱之為奇值和奇值函數序列。應用它可類似地建立展開定理。施密特指出，方程（1）可解的必要條件是級數式中ƒi=(ƒ，φ)。以後，(C.-)É.皮卡進而證明，在正交標準特徵函數系{φi(x)}是完備的情形，這條件也是充分的。此即所謂施密特－皮卡定理。

對於第一種弗雷德霍姆積分方程的研究，近代有了新的進展，並提供了一些有效的解法，但至今還未建立起系統的理論。