多重積分
多重積分
因為不可能計算多於一個變數的函數的不定積分，不定多重積分是不存在的。然後，原來的函數的積分就定義為延展的函數在矩形區域中的積分（如果存在的話）。累次積分中，外圍的積分是對於如下x的函數關於x的積分雙重積分卻是定義在xy平面的區域上。
多重積分是定積分的一類，它將定積分擴展到多元函數（多變數的函數），例如求f(x,y)或者f(x,y,z)類型的多元函數的積分
正如單參數的正函數的定積分代表函數圖像和x軸之間區域的面積一樣，正的雙變數函數的雙重積分代表函數所定義的曲面和包含函數定義域的平面之間所夾的區域的體積。（注意同樣的體積也可以通過三變數常函數在上述曲面和平面之間的區域中的三重積分得到。若有更多變數，則多維函數的多重積分給出超體積。
n元函數在定義域D上的多重積分通常用嵌套的積分號按照演算的逆序標識（最左邊的積分號最後計算），後面跟著被積函數和正常次序的積分參數（最右邊的參數最後使用）。積分域或者對每個積分參數在每個積分號下標識，或者用一個變數標在最右邊的積分號下：
因為不可能計算多於一個變數的函數的不定積分，不定多重積分是不存在的。因此所有多重積分都是定積分。
譬如，邊長為的長方體的體積可以通過兩種方法得到：
● 通過函數在xy平面中的區域D，也就是長方體的底上的雙重積分
● 或者是常函數1在長方體上的三重積分
令n為大於1的自然數。考慮所謂的半開n維矩形（下面簡稱矩形）。對於平面，，而多重積分就是雙重積分。
將每個區間分成有限個不重疊的子區間，每個都是左閉右開。將子區間記為Ii。則，所有所有如下形式的子矩形的族
是T的一個劃分，也即，子矩形C是互不重疊的，而且它們並集為T。C中的子矩形的直徑按照定義是C中最大的邊長，而T的劃分的直徑就是劃分中的子矩形的最大直徑。
令為定義在T上的函數。考慮如上定義的T的劃分
其中m是正整數。如下形式的和稱為黎曼和
其中，對於每個k，點在中，而是笛卡爾積為的區間的邊長之積。
函數f稱為黎曼可積，如果如下極限存在
其中極限取遍所有直徑最大為δ的T的劃分。若f黎曼可積，S稱為f在T上的黎曼積分。記為
定義在任意有界n維集合上的函數的黎曼和可以通過將函數延拓到一個半開半閉矩形上來求出，其取值在原來的定義域之外為0。然後，原來的函數的積分就定義為延展的函數在矩形區域中的積分（如果存在的話）。
下文中n維黎曼積分簡稱多重積分。
多重積分具有很多與單變數函數的積分一樣的性質（線性，可加性，單調性，等等）。而且，和單變數情況一樣，可以用多重積分找出函數在給定集合上的積分。具體來講，給定集合和D上的可積函數f，f在定義域上的平均值為
其中是D的測度。
是，積分
是f在T上的雙重積分，而若TR3，積分
是f在T上的三重積分。
注意，按常規，雙重積分用兩個積分號，而三重積分有三個；這只是記法上方便，也是為了通過重複積分來計算多重積分（參看本條目後文）。
多重積分問題的解決在多數情況下依賴於將多重積分轉化為一系列單變數積分，而其中每個單變數積分都是直接可解的。
有時可以直接獲得積分的結果，而無需任何直接計算。
在常函數的情況中，結果很直接：只要將常函數c乘以測度就可以了。如果，而且是在R2的子集中積分，則乘積就是區域面積，而在R3中，它就是區域的體積。
例如：
and 在D上積分f：
對於Rn中的函數，只要相關變數對於形成對稱的軸是奇變數就可以了。
例一:
給定猠椀渀以及為積分區域（半徑為1的圓盤，包含邊界）。利用線性性質，積分可以分解為三部分：2 猠椀渀x和3y3都是奇函數，而且顯然T對於x和y軸都是對稱的；因此唯一有貢獻的部分是常函數5因為其它兩個都貢獻0.
例二：
考慮函數以及圓心在原點的半徑為2的球。該球顯然是對於三條軸都對稱，但是只要對於x軸積分就可以看出結果是0，因為f對於該變數是奇函數。
簡化公式基於簡單積分區域來將多重積分轉化為單變數積分的序列。它們必須從右至左計算，過程中將其它變數暫時視為常數（和偏導數的計算類似）。
參見：積分次序
此種方法通用於滿足下述條件的任何定義域D:
D投影到x軸或y軸任一軸，形成一個有邊界的範圍, 以a,b代表邊界值。
通過a,b兩點並與 垂直的直線與D相交后的兩個端點，可以用 2 個函數定義。
將D對x軸做垂直投影，函數是連續函數，並且D可以視為（定義在[a,b]區間上的）α(x)和β(x)之間的區域。則
將D對y軸做垂直投影，函數是連續函數，並且D可以視為（定義在[a,b]區間上的）α(y)和β(y)之間的區域。則
例：可以採用簡化公式的D區域。
考慮區域：（參看附圖）計算該區域可以沿x或者y軸分解。要採用公式，必須先找到限制D的兩個函數和定義區間。這個例子中，這兩個函數為：
和
而區間為
（這裡為了直觀起見採用沿x軸分解）。應用簡化公式，得到：
（首先，第二個積分將x作為常數）。然後就是用積分的基本技術：
如果沿著y軸分解，可以計算
並得到同樣的結果。
這些公式可以推廣到三重積分：
T是一個可以投影到xy平面的體，它夾在和兩個函數之間。那麼：
（此定義和其它R3中的分解類似）。
積分的極限常常不易交換（區域無法分解或者公式很複雜），這時可以採用變數替換來重寫積分，令區域更加簡易，從而可以用更簡單的公式表達。為此，函數必須變換到新坐標系下。
例:函數為；若採用替換則可以得到新函數
對於定義域要進行類似處理，因為原來是採用變換前的變數表達的（本例中的x和y）。
微分dx和dy要通過包含被替換的變數對於新變數的偏微分的雅可比行列式來變換。（譬如，極坐標的微分變換）。
常用的變數替換有三種（R2中一種，R3中兩種）；但是，更普遍的變換可以用同樣的原理來發現。
參見：極坐標系
在R2中，若定義域有某種圓形對稱性而函數也有某種特徵，則可以採用極坐標變換（參看圖中的例子），也就是說將點P(x,y)從笛卡爾坐標變換到相應的極坐標中。這使得定義域的形狀改變，從而簡化運算。
該變換的基本關係如下：
例:
函數為應用該變換得到
例:
函數為
這裡有：這裡使用了勾股定理（在簡化操作時很有用）。
定義域的變換是根據x和y通過環厚和角度的幅度來限定ρ, φ的區間。
例（2-c）:
區域為，圓周半徑2；很明顯，這個區域所覆蓋的角度是整個圓周角，所以φ從0變化到2π，而環半徑從0變化到2（內環為0的環形就是圓）。
例:
區域為，這是在正y半平面中的圓環（參看示意圖）；注意φ表示平面角而ρ從2變化到3。因此變換出來的區域為矩形：
該變換的雅可比行列式為：
這可以通過將代入關於ρ的第一行和關於φ的第二行的偏微分中得到，所以微分變換為
一旦函數和區域的變換完成後，可以定義極坐標中的變數變換公式：
注意φ在區間中有效，而ρ測量長度，因此只能取正值。
例
函數為區域和例相同。從前面對D的分析，我們知道ρ的區間為，而φ的為.函數變換為：
最後，應用積分公式：
一旦區間給定，就可以得到
R3中，在有圓形底面的定義域上的積分可以通過變換到柱極坐標系來完成；函數的變換用如下的關係進行：
區域的變換可以從圖形中得到，因為底面的形狀可能不同，而高遵循初始區域的形狀。
例
區域為（也即底面為例2-d中的圓環的高度為5的"管道"）；如果採用變換，可以得到區域（這是一個底面為例中的矩形而高為5的長方體）。
因為z分量沒有變化，和在極坐標中一樣變化：變為。
最後，變換到柱極坐標的最後公式為：
這個方法在柱形或者錐形區域的情況較為適用，也適用於容易分辨z區間和變換圓形底面和函數的其它情況。
R3中，有些區域有球形對稱性，所以將積分區域的每點用兩個角度和一個距離標識較為合適。因此可以採用變換到球極坐標系；函數變換由如下關係產生：
注意z軸上的點沒有唯一表示，可以在0到2π間變化。
這個方法最為適用的區域顯然是球。
例（）:
區域為（球心在原點半徑為4的球）；應用變換后得到：坐標變換的雅可比行列式為：
因此變換為.得到最後公式:
應當在積分區域為球形對稱並且函數很容易通過基本三角公式簡化的時候才使用這個方法。（參看例）；其它情況下，可能使用柱極坐標更為合適。
注意從雅可比行列式來的ρ2和sinΦ因子。
注意下面例子中，φ和θ的作用反過來了。
例（）:
D和例相同，而是被積函數。很容易變換為：，而從D到T的變換是已知的：
應用積分公式：並展開：
利用上面描述的方法，很容易計算一些立體的體積。
：半徑為R的圓形底面作為定義域，將等於高度h的常函數作為積分對象。可以在極坐標中將體積寫作：
體積驗證：體積=底面積×高 =
:可以作為常函數1在球極坐標下的半徑為R的球中積分：體積
(三稜錐或者說3維單純形)
：頂點在原點，三條長度為l的邊沿著各個笛卡爾坐標系軸向的四面體的體積可以通過簡化公式計算，因為xy平面和'z'軸互相垂直，x和y垂直，被積函數是常數1。
體積=
驗證：體積 =底面積×高/3 =
定義域無界或者函數值在靠近定義域邊界時無界的情況下，可以引入二重廣義積分或者三重廣義積分。
多重積分
參見：積分次序
富比尼定理斷言若
也即，積分絕對收斂，則多重積分和累次積分給出同樣的結果，
一個特例是如果是|f(x,y)|有界函數而A和B為有界集時。
如果積分不是絕對收斂，必須小心，不要混淆多重積分和累次積分的概念，特別是當它們採用形式上相同的記法的時候。記法
在某些情況下表示累次積分而非真正的雙重積分。累次積分中，外圍的積分
是對於如下x的函數關於x的積分
雙重積分卻是定義在xy平面的區域上。若雙重積分存在，則它等於兩個累次積分中的任何一個（或者""或者""），它也就是通過其中之一來計算的。但是有時這兩個累次積分存在，而雙重積分不存在。這種情況下，有時兩個累次積分不相等，也即，
這是條件收斂的積分的重排序的一個例子。
如果要強調使用雙重積分而非累次積分時，可以採用如下記法
這些積分在物理中有大量應用。
力學中，轉動慣量可以作為密度乘以和轉軸的距離的平方的體積分（三重積分）計算：