點集拓撲學

點集拓撲學產生於19世紀。G.康托爾建立了集合論，定義了歐幾里得空間中的開集、閉集、導集等概念，獲得了歐幾里得空間拓撲結構的重要結果。1906年M.-R.弗雷歇把康托爾的集合論與函數空間的研究統一起來，建立了廣義分析，可看為拓撲空間理論建立的開始。F.豪斯多夫在《集論大綱》（1914）中用開鄰域定義了比較一般的拓撲空間，標誌著用公理化方法研究連續性的一般拓撲學的產生。隨後波蘭學派和蘇聯學派對拓撲空間的基本性質（分離性、緊性、連通性等）做了系統的研究。經過20世紀30年代中期起布爾巴基學派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓撲學趨於成熟，成為第二次世界大戰后數學研究的共同基礎。

歐氏空間中的點集的研究，例如，一直是拓撲學的重要部分，已發展成一般拓撲學與代數拓撲學交匯的領域，也可看作幾何拓撲學的一部分。50年代以來，即問兩個映射，以R.H.賓為代表的美國學派的工作加深了對流形的認識，是問兩個給定的映射是否同倫，在四維龐加萊猜想的證明中發揮了作用。從皮亞諾曲線引起的維數及連續統的研究，習慣上也看成一般拓撲學的分支。

拓撲學是把那些很樸素但又很基本的圖形的集和直觀性質，進行數學化的結果。在漫長的歷史過程中，人們用很多種數學方法來表達這種幾何圖形的直觀性質，直到康托提出了集合論之後，以集合論為基礎，配之以映射概念，拓撲學有了根本性的發展。從歐拉的七橋問題，地圖著色問題，Jordan曲線定理等知道平面上簡單閉曲線將平面分成兩部分。高斯研究扭結和二重積分的聯繫等是當時研究的一些孤立問題，而後成為拓撲學的有關問題。再到黎曼發現了多值函數解析函數可轉化為閉曲面上的單值函數，並得出閉曲面的拓撲分類。拓撲學都有著很深刻的發展。

拓撲學是幾何學的分支，且是與歐氏幾何不同的分支。研究對象是一般的幾何圖形（拓撲空間），即研究幾何圖形的拓撲性質，而且對應的歐氏幾何圖形在正交變換下的不變性和不變數。拓撲學研究更一般的圖形在彈性變形下的不變性和不變數，在而在近代拓撲學發展為幾個重要的分支：點集拓撲；代數拓撲；微分拓撲；幾何拓撲。這裡研究的是點集拓撲學。何為點集拓撲？它是數學的拓撲學的一個分支，它研究拓撲空間以及定義在其上的數學構造的基本性質。

點集拓撲學不同於數學專業的其他課程，如數學分析、高等代數、微分方程等課程，幾乎沒有計算之類的內容，邏輯性強，內容抽象；而且基本概念是比較多的。點集拓撲學的概念、理論和方法已經廣泛地滲透到現代數學、自然科學以及社會科學的許多領域，並且有了日益重要的應用，因此學習點集拓撲學的基本知識，不僅是為了學習現代數學提供必要的基礎知識，而且能從較高觀點去觀察、分析數學各科的內容，加深對這些內容的認識和理解。由於拓撲的一些基本概念對於初學者來說是比較抽象的，因此有必要結合線性空間及數學分析的一些原理進行區別與聯繫，從而起到事半功倍的效果。另外把，點集拓撲學實用性更明顯的一些，微積分，方程，圖論等等聯繫起來的話，學習者感到更踏實一些。

泛函分析的興起，希爾伯特空間和巴拿赫空間的建立，更促進了把點集當作空間來研究。數學分析研究的中心問題是極限，而收斂與連續又是極限的基本問題。為把收斂與連續的研究推廣到一般集合上，需要在一般集合上描述與點或與集合“鄰近”的概念。如何描述“鄰近”，可以用“距離”，但“距離”與“鄰近”並無必然的聯繫。1914年F.豪斯道夫開始考慮用“開集”來定義拓撲。對一個非空集合X，規定X的每點有一個包含此點的子集作成的子集族，滿足一組開集公理（即仿照歐幾里得空間鄰域所具特性給出的一組性質）。該子集族中的每個集合稱為這點的一個鄰域。這就給出了X的一個拓撲結構。X連同此拓撲結構稱為一個拓撲空間。

X的每點有鄰域，故可研究一點的鄰近，由此可仿照微積分的方法定義兩個拓撲空間之間的連續映射的概念。若一個映射連續，且存在逆映射，逆映射也連續，則稱此映射為同胚映射。具有同胚映射的兩個拓撲空間稱為同胚的（直觀地說即兩個空間相應的圖形從一個可連續地形變為另一個）。要證明兩個空間同胚，只要找到它們之間的同胚映射即可。在歐幾里得直線上，作為子空間，兩個任意的閉區間同胚；任意兩開區間同胚；半開半閉的區間[c,d)與[a,b)同胚；二維球面挖去一個點S－p與歐幾里得平面K同胚。

要證明兩個拓撲空間不同胚，需證明它們之間不存在同胚映射。方法是找同胚不變數或拓撲不變性（即在同胚映射下保持不變的性質）；第一個空間具有某同胚不變數，另一個空間不具有，則此二空間不同胚。一般拓撲學中常見的拓撲不變性有連通性、道路連通性、緊性、列緊性、分離性等（見拓撲空間）。在歷史上F.豪斯多夫提出了分離空間；弗雷歇看出了緊性與列緊性有密切關係；帕維爾·薩穆伊洛維奇·烏雷松對緊空間進行了系統研究，且在拓撲空間可否變數化的問題上作出了貢獻；1937年H.嘉當引進了“濾子”的概念，能進一步刻畫一致收斂，使收斂的更本質的屬性揭示了出來；維數的問題是E.嘉當在研究皮亞諾曲線（一種可填滿整個正方形的“曲線”）時提出的，1912年H.龐加萊給出定義，由烏雷松等人加以改進。

任何點集只要定義了拓撲，就成了拓撲空間。任何拓撲空間中均有開集、基、閉集、閉包。任何點集均可能有凝聚點，任何點均有鄰域。指定了順序的元素就成了序列。

常見的拓撲空間有：度量空間、平庸空間、離散空間、有限補空間、可數補空間等。任何集合均可通過指定開集而構成上述空間。因此一個集合與不同的拓撲（開集族）配對，可以構成不同的拓撲空間。

一般拓撲空間均可以有子空間，任意有限個拓撲空間均可以構成乘積空間。任一拓撲空間中的一個等價關係均可以造出商空間。