橢圓坐標系
橢圓坐標系
橢圓坐標系是一種二維正交坐標系。其坐標曲線是共焦的橢圓與雙曲線。橢圓坐標系的兩個焦點 與 的直角坐標，通常分別設定為與 ，都處於直角坐標系的 x-軸。
橢圓坐標 最常見的定義是
橢圓坐標系
， 。
橢圓坐標 與 的標度因子相等：
，為了簡化標度因子的計算，可以用二倍角公式來等價地表達為
。無窮小面積元素等於
。拉普拉斯運算元是
。其它微分運算元，例如 與，都可以用橢圓坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。
另外有一種，在直覺上，比較賦有幾何性的橢圓坐標系；其中， ， 。同樣地，的等值曲線是橢圓，而 的等值曲線是雙曲線。在這裡，必須屬於區間，而 必須大於或等於。
使用橢圓坐標，任何在 xy-平面上的點，其與兩個焦點的距離，有一個很簡單的關係（回想兩個焦點 與 的坐標分別為 與）：
， 。或者，
， 。
第二種橢圓坐標 的標度因子是
， 。所以，無窮小面積元素等於
。拉普拉斯運算元是
。其它微分運算元，例如 與，都可以用第二種橢圓坐標表達，只需要將第二種標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。
橢圓坐標系是幾種三維正交坐標系的基礎。將橢圓坐標系往 z-軸方向投射，則可以得到橢圓柱坐標系。將橢圓坐標系繞著 x-軸旋轉，就可以得到長球面坐標系，而繞著 y-軸旋轉，又可以得到扁球面坐標系；在這裡，x-軸是連接兩個焦點的直軸，y-軸是在兩個焦點中間的直軸。