卦限

詞語：卦限

拼音guà xiàn　注音ㄍㄨㄚˋ ㄒㄧㄢˋ

三個坐標面把空間分成八個部分，每個部分叫做一個卦限。含有x軸正半軸、y軸正半軸、z軸正半軸的卦限稱為第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆時針方向確定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分別稱為第五、六、七、八卦限。

卦限八個卦限在空間解析幾何中的默認位置卦限是笛卡兒坐標系中，象限在三維空間的對應術語，用於空間解析幾何的坐標系統。空間直角坐標系用於確定空間的任意一點的位置。先在指定空間內的任意一點取定並標記點O，作為坐標原點。經過點 O，畫出三條互相垂直的直線，把它們分別標記作 x 軸、y 軸和z 軸。用右手定則規定各軸線的正方向。

每二條軸線確定出一個平面，作為坐標平面。由 x 軸和 y 軸確定的坐標平面稱作 xy 平面；x 軸、z 軸確定 xz 平面；最後一對，y、z 二軸確定 yz 平面。按照傳統，將 xy 平面配置在水平面上，z 軸置於鉛直位置，而 xz、yz 二平面在圖上垂直標示。這三個坐標平面將空間分為八個部分，這便是空間直角坐標系的8個卦限。

八個卦限在幾何圖中通常以羅馬數字“I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII”標示。較為普遍的卦限數序均以 x 軸正半軸、y 軸正半軸和 z 軸正半軸確定的卦限為“第一卦限”，羅馬數字標記為“I”。第二、三、四卦限的數序類似平面直角坐標中象限的數序。在 xy 平面上向逆時針方向增加數序。而後第五至七卦限在 xy 平面下同樣以逆時針方向標記。

卦限相對象限較為罕見，世界各地的數學家乃至不同時間的數學印刷物都曾使用過不同的數序來標記各個卦限，所以為了避免混淆，可以採用另一種標記卦限的方式。直接地，明確指出某卦限範圍內包含的 x、y、z 坐標的正負，來標記那個卦限。如圖1中的第一卦限（I）標作“(+,+,+)”；第四卦限（IV）標作“(+,-,+)”；第七卦限（VII）標作“(-,-,-)”。

我們再來看八卦，在中國和日本用於占卜和象徵，這是大家都不陌生的，八卦是以陽爻（ ）和陰爻（ ）為基礎，構成“坤、震、坎、兌、艮、離、巽、乾”八卦。每一卦形代表，一定的事物。乾代表天，坤代表地，坎代表水，離代表火，震代表雷，艮代表山，巽代表風，兌代表沼澤。八卦互相搭配又得到六十四卦用來象徵各種自然現象和人事現象。陰陽兩爻又稱兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。正如“畫卦乘方圖”所示：第二層兩個“—”，生第三層中間的“二”，這個“二”加上左右兩個“一”，變成“四”，稱其為“四象”，第三層“一”和“二”生成第四層中間的“三”，兩個“三”加上左右兩個“一”，變成“八”，稱其為八卦。以此類推。太極兩儀四象八卦上面這個圖正好說明： ,其係數為1、2、1的排列；,其係數為1、3、3、1的排列。以此類推，表示了展開以後係數的排列形式。由此說明，八卦與代數中的多項式展開有密切關係。如果我們把陽爻規定為正，陰爻規定為負，那麼按照每一卦用三個爻來表示的特點，其正負排列就有（—，—，—），（—，—，+），（—，+，—），……等八種情況，如圖所示：坤 震 坎 兌 艮 離 巽 乾--（---）（--+）（-+-）（-++）（+--）（+-+）（++-）（+++）這八卦正好符合三維空間中笛卡爾坐標系的八個“卦限”，這“八個卦限”正好與“八卦”相吻合；同樣的，在二維空間中笛卡爾坐標系分為四個“象限”，這“四個象限”也正好與“四象”相吻合。由此看來，八卦與幾何的關係也是相當密切的。萊布尼茲的時代，正是中國的清朝。那時候，有個傳教士在清朝，給萊布尼茲寫了封信，信裡面畫了伏羲六十四卦方圓圖。萊布尼茲看了后，得出的看法是，他所發明的二進位竟然在更古老的時候，就被東方的聖人所認識。具體的內容，看上去很簡單，將陽爻換成1，陰爻換成0，那麼八卦就成了二進位表示數。按照這個辦法，結果就將自下而上的卦爻轉換成了自左至右的數字。乾卦，表示111；兌卦，表示110；離卦，表示101；震卦，表示100；巽卦，表示011；坎卦，表示010；艮卦，表示001；坤卦，表示000。這樣，八卦就演變成了二進位中全部的三位數。類似的，六爻卦有六十四個，正好表示了二進位中全部的六位數。萊布尼茲的這個發現非同小可，他甚至說：現在如有一聖人慾選擇一優秀民族，加以獎勵，那麼，他的金蘋果的賜與，一定會落到中國人的身上。

正態定限

空間解析幾何

空間直角坐標系笛卡兒坐標系

《微積分》經濟應用數學基礎（一），中國人民大學數學教研室編，中國人民大學出版社出版，統一書號：13011·21