抽象空間微分方程

巴拿赫空間中的微分方程。是常微分方程理論在無限維空間中的發展，研究可數無窮個常微分方程、泛函微分方程需要巴拿赫空間或希爾伯特空間的理論。它也是用常微分方程的思想和方法，研究偏微分方程的重要工具。

設Χ是巴拿赫空間，D是Χ中的開集，J是實軸上的開區間，函數是連續的。微分方程

是常微分方程組在巴拿赫空間X 中的自然推廣。設開區間嶅J，是強可微的，並且在開區間中成立恆等式就稱 是微分方程(1)的解。

解的存在性 當ƒ關於 x滿足李普希茨條件（見常微分方程初值問題）時，利用逐次逼近法可以證明：對於給定的初值，微分方程(1)滿足初值條件

的解存在且惟一。然而，和常微分方程組的情形不同，僅有ƒ 的連續性不足以保證微分方程(1)滿足初值條件(2)的解的存在性。例如，設表示滿足 的數列全體所成的空間，它的元素x的范數（見巴拿赫空間）為。在空間中考察含無窮個方程的常微分方程組

初值條件為

顯然，(3)的右端ƒ是上的連續函數。但是，在中不存在方程(3)滿足初值條件(4)的解。為了推廣柯西—皮亞諾定理（見常微分方程初值問題）到巴拿赫空間中的微分方程(1)，需要利用有界集的非緊性測度。設B是有界集，它的非緊性測度是能用有限個直徑小於d的集覆蓋B｝。如果連續，並且對於D的任一有界子集B 成立關係式 ，其中連續，而常微分方程的以為初值的惟一解是ρ 呏0；那麼微分方程(1)以為初值的解是存在的。它的證明需要利用紹德爾不動點定理（見不動點理論）。

許多有關常微分方程組的定理，諸如初值問題解的惟一性定理等，都可移到巴拿赫空間中的微分方程(1)。

線性方程 當ƒ(t,x)呏A(t)x+b(t)時，方程(1)成為線性方程

M.Γ.克列因、J.L.馬塞拉等曾討論連續的情形，其中表示 X上有界線性運算元（見線性運算元）。這時，方程(5)以為初值的解存在且惟一，並且在J上成立常數變易公式

式中，滿足關係:呏呏I和稱是相應於(5)的發展運算元。特別，當A(t)呏A是Χ上的線性有界運算元時,克列因還討論了A(·)具有周期ω的情形，推廣了周期係數線性常微分方程組的理論。對於非線性微分方程

假設連續， 人們還討論了零解的穩定性，推廣了A.M.李亞普諾夫關於穩定性的有關結果（見常微分方程運動穩定性理論）。

但是，對於偏微分方程，例如熱傳導方程不能化為具有有界運算元的線性方程(5)。若以 H姲表示區間上一階導數平方可積且在0和1取值為0的實連續函數全體當賦以范數 時所構成的希爾伯特空間，又記,而當二階導數平方可積時,那麼(7)可以化為姲上的線性方程

但這裡，A是 H姲上的無界線性運算元。因此，在無限維空間中有必要研究A為無界運算元時的線性方程(8)。

設線性運算元A的定義域是Χ中的稠密集,A還是閉運算元，如果當時A的預解運算元(見線性運算元)是Χ上的有界線性運算元，並且成立不等式

其中是常數，那麼根據希爾-吉田耕作定理,A是Χ上的線性有界運算元半群的母元。如果 強可微，可以證明：常數變易公式

給出微分方程(8)的解。由它可得熱傳導方程、波動方程等解的公式。當是博赫納可積時，表達式(9)的右端是強連續的，稱為(8)的軟解。

加藤敏夫、田辺広城以及索伯列夫斯基等還討論了是Χ上的無界線性運算元時的微分方程(5)，給出了發展運算元存在以及常數變易公式成立的條件。

為適應非線性拋物型偏微分方程理論、分佈參數系統、控制理論等的需要，人們又進一步討論了半線性發展方程

式中是Χ上的無界線性運算元,是連續的；還研究了非線性壓縮半群所產生的非線性方程。

在抽象空間微分方程研究中，除解的存在性、惟一性、解對初值的連續性、常數變易公式外，還有人研究周期解的存在性、惟一性，解的穩定性，分歧現象，等等問題，並且研究解的全局結構、高階微分方程等。

關於解的概念，除前述的以強導數為依據的解的概念外，還有以弱導數為基礎的弱解的概念等。