鬼谷演演算法

漢高祖劉邦曾問大將韓信：“你看我能帶多少兵？”韓信斜了劉邦一眼說：“你頂多能帶十萬兵吧！”漢高祖心中有三分不悅，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韓信傲氣十足地說：“我呀，當然是多多益善啰！”劉邦心中又添了三分不高興，勉強說：“將軍如此大才，我很佩服。現在，我有一個小小的問題向將軍請教，憑將軍的大才，答起來一定不費吹灰之力的。”韓信滿不在乎地說：“可以可以。”劉邦狡黠地一笑，傳令叫來一小隊士兵隔牆站隊，劉邦發令：“每三人站成一排。”隊站好后，小隊長進來報告：“最後一排只有二人。”“劉邦又傳令：“每五人站成一排。”小隊長報告：“最後一排只有三人。”劉邦再傳令：“每七人站成一排。”小隊長報告：“最後一排只有二人。”劉邦轉臉問韓信：“敢問將軍，這隊士兵有多少人？”韓信脫口而出：“二十三人。”劉邦大驚，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找個岔子把他殺掉，免生後患。”一面則佯裝笑臉誇了幾句，並問：“你是怎樣算的？”韓信說：“臣幼得黃石公傳授《孫子算經》，這孫子乃鬼谷子的弟子，算經中載有此題之演演算法。”

鬼谷子，姓王名詡（或利），又名王禪，號玄微子，春秋末戰國初時人。祖籍朝歌（今河南省淇縣）城南，出生於河北省臨漳縣香菜營鄉鹽食村，童年生活在河北省臨漳縣香菜營鄉穀子村，兩村是近鄰。鹽食村古代叫王家莊。“王禪老祖”是後人對鬼谷子的稱呼，是先秦諸子之一。鬼谷子為縱橫鼻祖（其實也是兵家的著名代表人物之一），蘇秦與張儀為其最傑出的兩個弟子（見《戰國策》）。另有孫臏與龐涓亦為其弟子之說（見《孫龐演義》）。他通天徹地，兼顧數家學問，人不能及。一是神學：日星象緯，占卜八卦，預算世故，十分精確；二是兵學，六韜三略，變化無窮，布陣行軍，鬼神莫測；三是遊學，廣記多聞，明理審勢，出口成章，萬人難當；四是出世學，修身養性，祛病延壽，學究精深。

“鬼谷算”是《孫子算經》上有名的“孫子問題”（又稱“物不知數題”）編寫而成的。原來的題目是：

“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？”

用通俗的話來說，題目的意思就是

有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們三個三個地數，會剩下2個；五個五個地數，會剩下3個；七個七個地數，也會剩下2個。這些物品的數量至少是多少個？

（註：詩題及題目原文都無“至少”二字，但“孫子問題”都是些求“最少”或者求“至少”的問題，否則就會有無數多個答案。所以，解釋題目意思時，在語句中加上了“至少”二字。）

《孫子算經》解這道題目的“術文”和答案是：

“三三數之剩二，置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十。並之，得二百三十三，以二百十減之，即得。”“答曰：二十三。”

這些話是什麼意思呢？用通俗的話來說，就是：

先求被3除餘2，並能同時被5、7整除的數，這樣的數最小是140；

再求被5除餘3，並能同時被3、7整除的數，這樣的數最小是63；

然後求被7除餘2，並能同時被3、5整除的數，這樣的數最小是30。

於是，由140+63+30=233，得到的233就是一個所要求得的數。但這個數並不是最小的。

再用求得的“233”減去或者加上3、5、7的最小公倍數“105”的倍數，就得到許許多多這樣的數：

{23，128，233，338，443，…}

從而可知，23、128、233、338、443、…都是這一道題目的解，而其中最小的解是23。

答：這些物品的數目至少是23個。

需要指出的是，在《孫子算經》上，有一段關於這類題目的解題“術文”：

“凡三三數之剩一則置七十，五五數之剩一則置二十一，七七數之剩一則置十五，一百六以上以一百五減之，即得。”

（註：古稱“106”和“105”為“一百六”和“一百五”，而稱“160”和“150”為“一百六十”和“一百五十”。所以，這裡的“一百六”和“一百五”分別指“106”和“105”，而不是“160”和“150”。）

明代著名的大數學家程大位，在他所著的《演演算法統宗》中，對於這種解一般“孫子問題”的方法，還編出了四句歌訣，名曰《孫子歌》：

三人同行七十稀，

五樹梅花廿一枝；

七子團圓正半月，

除百零五便得知。

歌中的“廿”，讀音與“念”音相同。“廿”即二十的意思。

這一歌訣的“詩意”，我們可以不去理會，只需注意它的數字就行了。歌訣中的每一句話，都指出了一步解題方法：

“三（3）人同行七十（70）稀”——是說除以3所得的餘數，要用“70”去乘它；

“五（5）樹梅花廿一（21）枝”——是說除以5所得的餘數，要用“21”去乘它；

“七（7）子團圓正半月（15）”——“半月”是一個月30天的一半，即15日，這是說，除以 7所得的餘數，要用“ 15”去乘它；

“除百零五（105）便得知”——這是說要把上面所乘得的三個數相加，加得的和如果大於105，便應減去105，或者減去105的倍數。這也就是《孫子算經》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）減之”。這樣得出的差，便是所要求的這個最小的未知數了。

運用這一歌訣來解答這道“物不知數”問題，便是

2×70+3×21+2×15=140+63+30=233

233-105-105=23（答略）

不過，用這種方法解這類問題，有它的局限性，它只能解答用3、5、7作除數的題目，遇到用其他數作除數的算題，它就行不通了。這一點必須引起我們的注意。

若某個數X分別被d1,d2,d3,、、、、、、，dn除得的餘數分別為r1,r2,r3,、、、、、、，rn,則可表示為下式：

X=R1r1+R2r2+R3r3+、、、、、、+Rnrn-RD

其中R1是d2,d3,、、、、、、，dn的公倍數，而且被d1除，餘數為1；

R2是d1,d3,、、、、、、，dn的公倍數，而且被d2除，餘數為1；

R3是d1,d2,、、、、、、，dn的公倍數，而且被d3除，餘數為1；

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

Rn是d1,d2,、、、、、、，dn-1的公倍數，而且被dn除，餘數為1；

D是d1,d2,d3,、、、、、、，dn的最小公倍數；

R是任意正整數，可以根據實際需要決定；

而且d1,d2,d3,、、、、、、，dn必須是互質的，以保證每個Ri(i=1、2、3，、、、，n)都能求得。

自從《孫子演演算法》中提出這個“物不知數”問題之後，他便引起了人們很大的興趣。南宋數學家秦九韶對此加以推廣，又發現一種新的解法，叫“大衍求一術”。這種解法後來傳入歐洲，歐洲學者發現此解法和高斯的解法基本一致，但比高斯早了500餘年。