微分形式

微分形式是微分幾何學中最基本的概念。我們首先以n維 歐氏空間R^n為例，來解釋微分形式。設（x_1,...x_n)是歐氏空間坐標。在這個空間中，我們有自然的度量，即歐幾里得度量, 它的微分表達式為

ds^2=dx_1^2+...dx_n^2。這裡dx_i是傳統的一階微分。而 dx_i^2 指的是 dx_i和它自己的在域R上的張量積。類似地，ds是無窮小向量dr的模長，而ds^2是ds和自己在域R上的張量積。

把dx_1（p）,...dx_n （p）作為基向量，其中，p為R^n中的一個點，以實常數為係數，可以生成域R上的一個n維的向量空間T^*，稱為R^n在點p的餘切空間，在線性同構的意義下，它就是R^n自己而已；而如果把係數由常數換成點p所在的開鄰域上的實值函數，則上述的n個基向量可以生成函數環上的一個n秩的模，叫做一階外微分形式模。在代數幾何中，這個模是很常用的。

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另一方面，對一個n維向量空間V, 假設e1, ...,e_n 是基向量. 我們可以定義r次外積空間A^r(V), 這個空間由以下形式的外積（有時也稱楔積）作為基元素生成：e_{i1}∧e_{i2}∧...e_{ir}, 這裡1≦i1≦i2≦...≦ir≦n.

今取V=T^*, 則A^r(T^*)中的元素稱為r次微分形式，它可以寫成基元素dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}的線性組合。這裡每個基元素前的係數可以視作坐標（x_1,...x_n）的函數。

微分形式的概念也可以從歐氏空間推廣到微分流形上。所有微分形式放在一起構成一個外代數。

微分形式的一個優點就是能做外微分 運算。比如ω=α(x_1,...x_n)dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}是一個r次微分形式，那麼dω=dα∧dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}. 這就把一個r次微分形式映到了r+1次微分形式。換言之，

我們有映射d: A^r(T^*)→A^{r+1}(T^*). 這個映射稱為外微分。

易知兩次外微分的複合等於零，即dd=0，即poincare（龐加萊）引理. 一個微分形式ω如果滿足dω=0, 我們就稱其為閉形式。如果存在另一微分形式γ, 使得ω=dγ，我們就稱其為恰當形式。利用dd=0這一條件，我們就得到所謂的DeRham復形，由這個復形，就導出了所謂的DeRham上同調，它就是閉形式生成的向量空間商掉恰當形式以後得到的商空間。

楔積法則：d（x∧y）=dx∧y+（-1）^(degx)*x∧dy.

此外，外微分運算還滿足牛頓-萊布尼茲公式，即對區域邊界某外微分的積分等於對區域內該外微分的微分的積分。是高斯公式，斯托克斯公式的概括和總結，是單變數微積分中牛頓-萊布尼茲公式在多變數中的推廣。

利用外微分和積分運算，我們可以得到著名的斯托克斯定理。它是說一個恰當形式ω=dγ在定義域M上的積分，就等於γ在M的邊界上的積分。這個定理有很多特殊情況，都是經典微積分理論中的重要公式，比如牛頓萊布尼茲公式，高斯公式，格林公式 等等。

斯托克斯定理表明，外微分運算元d和拓撲圖形的邊緣運算元是相伴的。這暗示了微分分析和拓撲學之間的微妙聯繫。

取平面上的一階微分ω=Pdx+Qdy. 那麼dω=(Q_x-P_y)dx∧dy, 這裡Q_x是Q關於x的偏導數，其餘類似。

此時的斯托克斯公式就是格林公式，即線積分可以轉化為面積分。