線性振動
線性振動
線性振動，系統中構件的彈性服從胡克定律，運動時產生的阻尼與廣義速度的一次式成正比的振動。它通常是實際系統微幅振動的一個抽象模型。線性振動系統最根本的特徵是：適用疊加原理，即對於線性系統，如果在輸入x1作用下，系統響應為y1，而在輸入x2作用下，系統響應為y2，則系統在輸入x1和x2的聯合作用下的響應就是y1+y2。這給線性系統的分析帶來極大的方便。在疊加原理的基礎上，可以把一個任意的輸入分解為一系列微元衝量的和，然後求得系統的總響應。在這一原理的基礎上，還可以將一個周期激勵經傅里葉變換，展成一系列諧和分量的和；方法是：先分別考察各個諧和分量對系統的作用結果，然後再將它們疊加起來，得到系統的總響應。因此，常參量線性系統的響應特性可用脈衝響應或頻率響應描述。脈衝響應是指系統對單位衝量的響應，它表徵系統在時域的響應特性。頻率響應是指系統對單位諧和輸入的響應特性，它表徵系統在頻域的響應特性。兩者由傅里葉變換確定對應關係。
單自由度系統的線性振動：指可用一個廣義坐標來確定系統位置的線性振動。它是最簡單最基本的振動，許多振動的基本概念和特徵可由此引出。它包括簡諧振動、阻尼振動和受迫振動。
簡諧振動：物體在與位移成正比的恢復力作用下, 在其平衡位置附近按正弦規律作往複的運動（圖 1）。以x表示位移，t表示時間，這種振動的數學表達式為：
x＝Asin(ωt+嗞)， (1)
式中A為位移x的最大值，稱為振幅，它表示振動的強度；ωn表示每秒中的振動的幅角增量，稱為角頻率，也稱圓頻率；嗞稱為初相位。以f＝ωn/2π表示每秒中振動的周數，稱為頻率；它的倒數，T=1/f,表示振動一周所需的時間，稱為周期。振幅A、頻率f(或角頻率ωn)、初相位嗞，稱為簡諧振動三要素。
如圖2所示，由線性彈簧聯結的集中質量m構成簡揩振子。當振動位移自平衡位置算起時，其振動方程為：
塯+ω厒x＝0，
式中，k為彈簧的剛度。上式的通解就是(1)。A和嗞可由t=0時的初始位置x0和初速度凧決定：
但ωn只由系統本身的特徵m和k決定，與外加的初始條件無關，故ωn亦稱固有頻率。對於簡諧振子，其動能m凧2和勢能kx2之和為一常量，即系統的總機械能守恆。在振動過程中，動能和勢能不斷相互轉化。
塯＋2β凧＋ω厒x＝0， (2)
式中β=c/2m稱為阻尼參變數,。式(2)的通解可寫作：
(3)
依據ωn和β之間的數值關係可分為以下三種情況：
x(t)=Ae-βtcos(ω1t-嗞)，
其振幅按方程A=A0e-βt所示的指數規律隨著時間的推移而減小，如圖3虛線所示。嚴格地說，這種振動是非周期性的，不過按式(3)可定義其峰值的頻率為： eβτ稱為減幅率，其中τ為振動周期。減幅率的自然對數δ稱為對數減(幅)率；顯然,δ＝βτ,式中τ＝2π/ω1。直接通過實驗測定δ和τ,利用上式即可求出c。 ②ωn＝β（臨界阻尼情況）此時式(2)的解可寫作：
x(t)=(A1+A2t)e-βt
它隨初速度凧的方向又可分為如圖4所示的三種非振動情況。 ③ωn＜β（大阻尼情況）式(2)的解如式(3)。這時，系統已不是振動的了。
受迫振動 系統在經常性激勵作用下的振動。振動分析主要是考察系統對激勵的響應。周期激勵是一種典型的經常性激勵。由於周期激勵總可分解為若干個諧和激勵之和，故根據疊加原理，只要求出系統對各個諧和激勵的響應，再把它們疊加起來，就可得到系統對周期激勵的總響應。單自由度帶阻尼的系統在諧和激勵F0sinωt的作用下，運動微分方程可寫作：
m塯＋c凧＋kx＝F0sinωt。
其響應是兩部分的和，一部分是阻尼振動的響應，這部分隨時間增大而迅速衰減；另一部分受迫振動的響應可寫作：
x＝hsin(ωt-ψ)，
式中
h/F0=H(ω)，
為定常響應振幅與激勵振幅之比，表徵幅頻特性，或稱增益函數；ψ為定常響應和激勵的相位差，表徵相頻特性。它們與激勵頻率ω的關係見圖5和圖6。從圖5可以看出，在小阻尼情況下，幅頻曲線具有單峰；阻尼愈小，峰愈陡；對應於峰頂的頻率稱為系統的共振頻率。在小阻尼情況，共振頻率與固有頻率差別不大。當激振頻率與固有頻率接近時，振幅急劇增加，這種現象稱為共振(諧振)。在共振時，系統的增益取極大值，即受迫振動最為激烈。故在一般情形下，總是力求避免出現共振，除非某些儀器與設備要利用共振來取得大幅度振動。
從圖6可以看出，不論阻尼大小，在ωn處，相位差ψ＝π/2，這一特點可有效地用於共振測量。
除了定常激勵外，系統有時還會遇到非定常激勵。它大致可以分為兩類：一是實發性的衝擊作用；二是任意性的持久作用。在非定常激勵下，系統的響應也是非定常的。
分析非定常振動的一個有力工具是脈衝響應法。它用系統的單位脈衝輸入的瞬態響應描述系統的動態特性。單位脈衝可以用δ函數表示。在工程上，δ函數常定義為：
δ(t)=0，當t厵0，式中0-表示t軸上從左邊趨於零的點；0+表示從右邊趨於0的點。
系統對應於在t=0時作用的單位脈衝所產生的響應h(t)，稱為脈衝響應函數。假定系統在脈衝作用之前是靜止的，則當t＜0時，有h(t)=0。知道系統的脈衝響應函數，就可以求系統對任意輸入x(t)的響應。這時，可以把x(t)看作一系列脈衝微元x(τ)dτ的和(圖7）。x(τ)dτ相當於在t=τ時作用的一個脈衝，系統對應於它的響應為：
dy=h(t-τ)x(τ)dτ。
基於疊加原理，系統對應於x(t)的總響應為：這一積分稱為褶積積分或疊加積分。
多自由度系統的線性振動 自由度n≥2的線性系統的振動。
圖8給出由耦合彈簧聯結的兩個簡諧振子系統。因為它是二自由度系統，所以要用兩個獨立坐標才能確定其位置。這一系統存在兩個固有頻率：
每個頻率對應一種振動形態。各簡諧振子進行同頻的諧和振動，同步地通過平衡位置，又同步地到達極端位置，這種振動稱為主振動。在對應於ω1的主振動中，有x1=x2；在對應於ω2的主振動中，有x1=-x2。在主振動中各個質量的位移之比保持一個確定的關係，構成一個確定的振型，稱為主振型或固有振型。各個主振型之間存在著關於質量與剛度的正交性，它反映各個主振動之間的相互獨立性。固有頻率與主振型表徵多自由度系統所固有的振動特性。一個n自由度系統有n個固有頻率和n個主振型。系統的任何振動形態都可以表成各個主振型的線性組合。因此，在多自由度系統動響應分析中，廣泛採用主振型疊加法。這樣，系統固有振動特性的測試和分析也就成為系統動態設計的一個常規步驟。
多自由度系統的動態特性也可以用頻率特性描述。由於各個輸入輸出之間都有一個頻率特性函數，故構成一個頻率特性矩陣。頻率特性與主振型之間有確定的關係式。和單自由度系統不同，多自由系統的幅頻特性曲線具有多個共振峰。
彈性體振動 上述多自由度系統是彈性體的近似力學模型。彈性體具有無限多個自由度。兩者有數量差別而沒有本質差別。任何一個彈性體具有無限多個固有頻率以及無限多個與之相應的主振型，而且這些主振型之間也存在著關於質量與剛度的正交性。彈性體的任何振動形態也可表示為各主振型的線性疊加。因而對於彈性體的動響應分析，主振型疊加法仍然適用（見彈性體的線性振動）。
以弦的振動為例。設單位長度質量為m的細弦，長l，兩端張緊，張力為T。這時，弦的固有頻率由下式確定：
f=na/2l (n=1，2，3…)，
式中a=(T/m)1/2,是橫波沿弦線方向的傳播速度。弦的各階固有頻率恰巧為基頻a/2l的整數倍。這種整數倍關係導致悅耳的諧音結構。在一般情況下，彈性體各階固有頻率並不存在這種整數倍關係。
張緊弦的前三階振型如圖9所示，主振型曲線上有一些節點。在主振動中，各節點處不振動。圖10給出了周邊固支的圓板的幾個典型振型，圖上有一些由圓和直徑構成的節線。
彈性體振動問題的準確提法可歸結為偏微分方程的邊值問題。但只有在一些最簡單的情況下才能找到準確解，因而對於複雜的彈性體振動問題，不得不求助於近似解法。各種近似解法的要旨是變無限為有限，也就是將無限多個自由度系統（連續系統）離散化為有限多個自由度系統（離散系統）。工程分析中廣泛採用的離散化方法有兩大類：有限元法與模態綜合法。
有限元法是將一個複雜結構抽象化為有限個單元並在有限個結點處對接而成的組合結構。每個單元是一個彈性體元件；單元的分佈位移用結點位移的插值函數表示；再將各單元的分佈參量按一定的格式集中到各個結點上去，由此得出離散系統的力學模型。
模態綜合法是將一個複雜結構分解成若干個較為簡單的子結構。在弄清各子結構振動特性的基礎上，根據對接面上的協調條件將這些子結構合成一總體結構，然後利用各子結構的振動形態得出總體結構的振動形態。
這兩種方法既有區別又有聯繫，可參照使用。模態綜合法還可與實驗測定有效地結合，構成理論與實驗相結合的、關於大型系統振動問題的分析方法。（見振動，非線性振動）
參考書目
鐵摩辛柯等著，胡人禮譯：《工程中的振動問題》,科學出版社，北京， 1981。（S. Timoshenko, et al.,Vibration Problems in Engineering， 4th ed.,John Wiley & Sons, New York, 1974.)
W. T. Thomson,Theory of Vibration with Application,2nd ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs,New Jersey, 1981.
L. Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, McGraw-Hill, New York,1975.