線性控制系統
線性控制系統
例如，系統輸入u，輸出y的關係為，如滿足疊加原理：
其中為任意兩輸入，a為任意實數。H是某一運算元或函數，它按照系統的輸入u唯一規定系統的輸出y。
線性系統又分為時變系統和時不變系統兩類。如果系統的動態特性只與控制過程的時間間隔有關，而與具體的初始時刻和終止時刻無關，則該系統稱為時不變系統，又稱定常系統；如果系統的動態特性與控制系統的初始時刻及終止時刻有關，則該系統稱為時變系統，也稱非定常系統。
研究線性系統理論的重要性在於：線性系統理論是現代控制理論中最基礎部分，也是最成熟的部分，它有完整的理論和設計、計算方法；線性系統理論在應用中起著較大的作用，大多數在正常運行範圍內工作的系統，均能用線性模型來描述；線性系統理論是研究非線性系統理論的基礎。
在控制理論的發展過程中，依據對控制系統描述的數學方法不同而形成兩大類：經典控制理論及現代控制理論。經典控制理論是通過傳遞函數來表達系統的輸入—輸出關係的，主要的分析和綜合方法是：頻率響應法及根軌跡法，並且對單輸入—單輸出線性定常系統的分析和綜合是有效的。該理論有兩個局限性：第一，它只能描述單輸入—單輸出定常系統，難於處理多輸入—多輸出系統；第二，它只能表現系統輸入—輸出關係，而對系統內部結構不能提供任何信息，難以揭示系統更深刻的特性。客觀上，現代控制系統要求有一種完善的控制理論，計算機技術的進步又為控制理論的發展創造了條件，於是產生了一種描述系統的新的數學方法——狀態空間法。狀態空間法是建立在狀態變數概念上的，稱為現代控制理論。
現代控制理論與經典控制理論比較，它適用範圍廣，可用於單輸入—單輸出系統或多輸入—多輸出系統，線性或非線性系統，時不變系統或時變系統。現代控制理論可以設計出最優控制規律，使系統的性能指標最佳。它是時域分析方法，對控制過程是直接的，也可以考慮任意初始條件。
現代控制理論從50年代中、後期開始發展，目前已形成了若干分支，其中主要有線性系統理論、最優控制理論、最佳估計理論、系統辨識、自適應控制及大系統理論等。
就線性系統理論來說，由於採用的數學工具和採用的系統描述的不同，又分成若干平行分支，如線性系統的狀態空間法、線性系統的幾何理論、線性系統的代數理論等。狀態空間法是線性理論中一個最重要和影響最廣的分支。
研究線性系統理論，首先要建立能反映實際物理系統特性的數學模型。由於所要解決的問題不同，所用的分析方法不同，描述同一系統的數學表達式也不相同。介紹描述控制系統的兩種數學模型，即輸入—輸出描述和狀態變數描述。通過等價變換，可改變系統動態方程的形式。
系統的輸入—輸出描述
系統的輸入—輸出描述給出了系統的輸入和輸出的關係。
一、線性時變系統
多輸入—多輸出系統
若系統的輸入端和輸出端均為1，即，該系統稱為單變數系統，否則稱為多變數系統。
系統的輸入—輸出描述給出了系統的輸入與輸出之間的數學關係式，依據系統的輸入與輸出來推導這種描述時，無須知道系統內部結構。這種情況下，可把系統看作是一個"黑箱"。可以向黑箱施加各種類型的輸入並測量相應的輸出，從輸入，輸出數據中找出反映系統重要特性的規律。
利用脈衝函數的概念，容易求得系統的輸入—輸出關係。如圖所示的脈動函數方程
為某一特定時刻。當Δ趨於零時，的極限稱為脈衝函數，或稱Diracδ函數，簡稱δ函數。δ函數有以下性質：
(1)對於任何正的小數ε，有
(2)對在t連續的任何函數f(t)，有
設單變數系統的輸入—輸出關係為,用脈衝函數近似輸入Hu，如圖所示，輸入“可閘一系列的脈動函數來近似，當Δ趨於零時，即上式表明，系統的輸出響應可以用脈衝響應函數和輸入的卷積表示。
若系統是具有p個輸入和q個輸出的多輸入—多輸出系統，則式(1—1)可相應地推廣為
G(t,τ)稱為系統的脈衝響應矩陣。
二、線性定常系統
單輸入—單輸出線性定常系統脈衝響應函數與具體的t、τ值無關，只與之差有關。於是輸入—輸出關係由式簡化為
同理，多輸入一多輸出線性定常系統的脈衝響應矩陣為，輸入一輸出關係由式簡化為
狀態變數描述
狀態變數描述不僅能描述系統輸入與輸出之間的關係，而且在任意初始條件下，能揭示系統內部的行為，因此它是一種完全的描述，又稱內部描述。
能完全表徵系統時域行為的一組相互獨立的變數，稱為系統的狀態。組成這個變數組的變數稱為狀態變數。
由狀態變數構成的列向量稱為系統的狀態向量，也簡稱狀態。以變數組的n個互相獨立的狀態變數作為坐標軸而構造出來的n維空間叫做狀態空間。狀態空間是狀態向量取值的一個向量空間。系統某一時刻的狀態是空間中的一個點，狀態隨時間的變化過程，構成了狀態空間中的一條軌線。
描述系統輸入、輸出和狀態向量之間關係的方程稱為動態方程。對線性系統，其動態方程一般表示為
其中第一式是描述系統狀態變化率的向量—矩陣微分方程，稱為狀態方程。第二式是描述系統輸出與系統狀態之間關係的方程，稱做輸出方程。u表示外部對系統的控制，稱為輸入向量。y是從外部量測系統運動狀態的量，稱為輸出向量。若x，u，y是維數分別為n,r,m的列向量，則矩陣A(t)，B(t)，C(t)，D(t)分別具有的相應階數為。它們的元素是時間t的連續函數。該式稱為線性時變動態方程。A(t)稱為系統矩陣，B(t)稱為輸入矩陣，C(t)為輸出矩陣，D(t)為前饋矩陣。矩陣D(t)表示從輸入u到輸出y的直接傳遞部分，為分析簡便，常令。狀態變數的個數n就是系統的維數。若方程中係數矩陣A，B，C，D不隨時間變化，則方程為線性定常動態方程。