線性系統理論

20世紀50年代以後，隨著航天等技術的發展和控制理論應用範圍的擴大，經典線性控制理論的局限性日趨明顯，它既不能滿足實際需要，也不能解決理論本身提出的一些新問題。這種狀況推動線性系統的研究，在1960年以後從經典階段發展到現代階段。美國學者R.E.卡爾曼首先把狀態空間法應用於對多變數線性系統的研究，提出了能控性和能觀測性這兩個基本概念，並提出相應的判別準則。1963年他又和E.G.吉爾伯特一起得出揭示線性系統結構分解的重要結果，為現代線性系統理論的形成和發展作了開創性的工作。1965年以後，現代線性系統理論又有新發展。出現了線性系統幾何理論、線性系統代數理論和多變數頻域方法等研究多變數系統的新理論和新方法。隨著計算機技術的發展，以線性系統為對象的計算方法和計算機輔助設計問題也受到普遍重視。

主要特點

與經典線性控制理論相比，現代線性系統理論的主要特點是：

①研究對象一般是多變數線性系統，而經典理論主要以單輸入單輸出系統為研究對象。因此，現代線性系統理論具有大得多的適用範圍。

②除輸入變數和輸出變數外，還著重考慮描述系統內部狀態的狀態變數，而經典理論只考慮系統的外部性能（輸入與輸出的關係）。因此，現代線性系統理論所考慮的問題更為全面和更為深刻。

③在分析和綜合方法方面以時域方法為主，兼而採用頻域方法。而經典理論主要採用頻域方法。因此，現代線性系統理論能充分利用這兩種方法。而時域方法對動態描述要更為直觀。

④使用更多的數學工具，除經典理論中使用的拉普拉斯變換外，現代線性系統理論大量使用線性代數、矩陣理論和微分方程理論，對某些問題還使用泛函分析、群論、環論、範疇論和複變函數論等較高深的數學工具。因此，現代線性系統理論能探討更一般更複雜的問題。

數學模型 在線性系統理論中，輸入變數、狀態變數和輸出變數三者之間的數學關係被看作是線性的。系統數學模型具有標準形式。對於連續情況，線性系統由下列方程組描述：

第一個方程稱為狀態方程，用以描述狀態向量T 與輸入向量T間的動態關係；第二個方程稱為輸出方程或量測方程，描述輸出向量T與狀態向量和輸入向量之間的線性組合關係。這裡T表示矩陣轉置。A，B，C和D都是常係數矩陣。x的維數（即系統的狀態變數的個數）n稱為系統的維數。這個模型可用下面的框圖表示。對於離散情況，線性系統的模型具有差分方程形式：

　

為簡便起見，常可把線性系統簡記為(A，B，C，D)。其中Du或Du(k)表示從輸入端直接傳送到輸出端的前饋作用，它與系統狀態的動態行為無關。在理論研究中常可假設，這時系統可記為(A，B，C)。

學科內容 線性系統理論的主要內容包括：①與系統結構有關的各種問題，例如系統的結構分解問題和解耦問題等。系統結構的規範分解（見能觀測性）是其中的著名結果。②關於控制系統中反饋作用的各種問題，包括輸出反饋和狀態反饋對控制系統性能的影響和反饋控制系統的綜合設計等問題。極點配置是這方面的主要研究課題。③狀態觀測器問題，研究用來重構系統狀態的狀態觀測器的原理和設計問題。④實現問題，研究如何構造具有給定的外部特性的線性系統的問題，主要研究課題是最小實現問題。⑤幾何理論，即用幾何觀點研究線性系統的全局性問題(見線性系統幾何理論)。⑥代數理論，用抽象代數方法研究線性系統，把線性系統理論抽象化和符號化。其中最有名的是模論方法（見線性系統代數理論）。⑦多變數頻域方法，是在狀態空間法基礎上發展起來的頻域方法，可以用來處理多變數線性系統的許多分析和綜合問題，也稱現代頻域方法。⑧時變線性系統理論，研究時變線性系統的分析、綜合和各種特性。數值方法和近似方法的研究佔有重要地位（見時變系統）。

與其他學科的關係 很多實際系統（工程系統、生物系統、經濟系統、社會系統等）都可用線性系統模型近似地描述，而線性系統理論和方法又比較成熟，因此它的應用範圍十分廣泛。在航空、航天、化工、機械、電機等技術領域中，線性系統理論都有應用實例。在科學領域中，線性系統理論的研究不但為控制理論的其他分支提供了理論基礎，而且對數學研究也提出了一些有實際意義的新問題。

參考書目

凱拉斯著，李清泉等譯：《線性系統》，科學出版社，北京，1985。(T.Kailath,Linear　Systems, Prentice-Hall,Inc., Englewood Cliffs,N.J.,1980.)

L.Zadeh and C.A.Desoer,Linear　System Theory: A State Space Approach, McGraw-Hill, New York,1963.