對數坐標

因為，代入則，即。

因為 令 所以

;

由基本性質1(換掉M和N) 由指數的性質又因為指數函數是單調函數，所以

與（3）類似處理 MN換成“”由基本性質1(換掉M和N) 由指數的性質 又因為指數函數是單調函數，所以

與（3）類似處理由基本性質1(換掉M) 由指數的性質 又因為指數函數是單調函數，所以 基本性質4推廣 推導如下：由換底公式（換底公式見下面）[是，e稱作自然對數的底]

設 則 得： 由基本性質4可得 再由換底公式

7、

的負一次方倒過去就是了

函數圖象

1.對數函數的圖象都過點。 2.對於函數， ①當時，圖象上函數顯示為單減。隨著a 的增大，圖象逐漸以點為軸順時針轉動，但不超過。②當時，圖象上顯示函數為單增，隨著a的增大，圖象逐漸以點為軸逆時針轉動，但不超過。與其他函數與反函數之間圖象關係相同，對數函數和指數函數的圖象關於直線對稱。

性質一：換底公式

推導如下： 綜合兩式可得 又因為所以 所以{這步不明白或有疑問看上面的} 所以

性質二：證明如下：由換底公式 ----取以b為底的對數還可變形得: 在實用上，常採用以10為底的對數，並將對數記號簡寫為,稱為常用對數，它適用於求十進伯制整數或小數的對數。例如,可見只要對某一範圍的數編製出對數表，便可利用來計算其他十進位數的對數的近似值。在數學理論上一般都用以無理數為底的對數，並將記號。簡寫為ln，稱為自然對數

約翰·納皮爾/約翰·奈皮爾（John Napier，），蘇格蘭數學家、神學家，對數的發明者。 Napier出身貴族，於1550年在蘇格蘭愛丁堡附近的小鎮梅奇斯頓（Merchiston Castle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有過正式的職業。年輕時正值歐洲掀起宗教革命，他行旅其間，頗有感觸。蘇格蘭轉向新教，他也成了寫文章攻擊舊教（天主教）的急先鋒（主要文章於1593年寫成）。其時傳出天主教的西班牙要派無敵艦隊來攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、裝甲馬車、潛水艇等）準備與其拚命。雖然Napier的兵器還沒製成，英國已把無敵艦隊擊垮，他還是成了英雄人物。他一生研究數學，以發明對數運算而著稱。那時候天文學家Tycho Brahe（第谷，）等人做了很多的觀察，需要很多的計算，而且要算幾個數的連乘，因此苦不堪言。1594年，他為了尋求一種球面三角計算的簡便方法，運用了獨特的方法構造出對數方法。這讓他在數學史上被重重地記上一筆，然而完成此對數卻整整花了他20年的工夫。1614年6月在愛丁堡出版的第一本對數專著《奇妙的對數表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"）中闡明了對數原理，後人稱為納皮爾對數：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜訪納皮爾，建議將對數改良一下以十為基底的對數表最為方便，這也就是後來常用的對數了。可惜納皮爾隔年於1617年春天去世，後來就由Briggs以畢生精力繼承納皮爾的未竟事業，以10為底列出一個很詳細的對數表。並且於1619年發表了《奇妙對數規則的結構》，於書中詳細闡述了對數計算和造對錶的方法。納皮爾對數字計算特別有研究，他的興趣在於球面三角學的運算，而球面三角學乃因應天文學的活動而興起的。他重新建立了用於解球面直角三角形的10個公式的巧妙記法——圓的部分法則（"納皮爾圓部法則"）和解球面非直角三角形的兩個公式——"納皮爾比擬式"，以及做乘除法用的"納皮爾算籌"。此外，他還發明了納皮爾尺，這種尺子可以機械地進行數的乘除運算和求數的平方根。

基本性質：

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

兩者間的轉化只相當於做一個函數變換，比如將的畫在縱軸為對數坐標的坐標圖上，跟經過變換的,z-x線性坐標上的圖形狀一樣。特別注意的是在各自坐標軸上的是真數，不是求對數后的值。

天狼50的K線圖採用的是，縱向長度和股價漲幅的對數成正比。在普通坐標系中，所有當日漲跌金額相等的股票，其 K 線長度是一樣的，比如所有自開盤至收盤上漲 1 元錢的 K 線具有同樣的長度。可是，10元的股票漲1元和20元的股票漲1元，其上漲的幅度是不一樣的，在對數坐標系中，只有當日漲跌幅（ ）相等的 股票，其K 線才具有同樣的長度，例如：所有自開盤至收盤上漲 的股票，它們的 K 線在對數坐標中長度是一樣的。對於一隻股票而言，使用對數坐標系能夠更真實地反映股價的上漲和下跌幅度。

因為自然對數函數的導數表達式特別簡潔，所以顯出了它比其他對數在理論上的優越性。歷史上，數學工作者們編製了多種不同精確度的常用對數表和自然對數表。但隨著電子技術的發展，這些數表已逐漸被現代的電子計算工具所取代。