實數系

實數系

實數系(real number system)亦稱實數連續統。即所有實數的集合。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的,常用R表示。由於R是定義了算術運算的運算系統,故有實數系這個名稱。實數系的基本定理也稱實數系的完備性定理、實數系的連續性定理,這些定理分別是確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理柯西收斂準則,共7個定理。

定義


實數系(real number system)亦稱實數連續統。即所有實數的集合。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的,常用R表示。由於R是定義了算術運算的運算系統,故有實數系這個名稱。

歷史


一、“數覺”產生自然數。形成自然數系
數的概念產生於原始人在生活和生產中逐漸形成了“有”和“無”、“多”和“少”的概念,再從“有”中分離出“多少”,逐漸產生l、2、3等自然數概念,這是人類蒙昧時期具有的“識數”的能力,這種能力心理學家稱之為“數覺”。這種“數覺”並非為人類所獨有,人類智慧的卓越之處在於他們發明了種種記數方法。最初的記數方法是由具體物品或標誌(如手指、小石、刻痕、結繩等)來代替,根據一一對應的原則進行記數,以後便逐漸脫離了具體事物的量,抽象出純粹的數的概念,這就是數字——記數的文字(數的語言)。不同的文明創造了迥然不同的記數方法,如,巴比倫的楔形數字系統、埃及象形數字系統、希臘人字母數字系統、瑪雅數字系統、印度一阿拉伯數字系統和中國的算籌記數系統。隨著人類社會的進步,數的語言也在不斷發展和完善,記數發展的第一個里程碑出現了:位值制記數法。所謂位值制記數法,就是運用少量的符號,通過它們不同個數的排列,以表示不同的數,其中最重要和最美妙的記數法則是現在國際通用的常稱為阿拉伯lO進位位值制記數法(阿拉伯數碼)。
法國著名數學家拉普拉斯(Laplace,1749一1827)曾對此有過一段精彩的評論。他曾經寫道:用十個記號來表示一切的數,每個記號不但有絕對的值,而且有位置的值,這種巧妙的方法,它今天看來如此簡單,但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便,才使我們的算術在一切有用的發明中列在首位。阿拉伯數碼是歷史遺留下來的不確切名稱,其實叫做印度一阿拉伯數碼更為恰當。它的演變,有一段漫長而複雜的歷史。現已有充分而確鑿的史料證明,lO進位位值制記數法最先產生於中國。印度一阿拉伯數碼最早可以上溯到婆羅米文字,這種文字形成於公元前7、8世紀,是印度文字的祖先。完成位值制必須有“0”號,最初用空格表示零,後來用小點表示,印度最早的確鑿無疑的“O”號出現在一塊石碑上,年代是公元876年。公元773年,印度數碼開始傳人阿拉伯國家,有人顧名思義,認為“阿拉伯數碼”就是阿拉伯人創造的數碼,這是誤解。
13世紀,歐洲的著名數學家斐波那契(L Fibonacci,1170一1250)寫了一本書,名為《算盤書》,這是第一部向歐洲人介紹印度數碼的著作。在歐洲人的印象中,這些數碼來自阿拉伯國家,所以稱之為阿拉伯數碼,這個名稱就這樣沿用下來。由具體的記數需要抽象出數字的概念,伴之而來的就是數數,即數的運算,10進位位值制記數法的出現,標誌著人類掌握的數的語言,已從少量的文字個體,發展到了一個具有完善運算規則的數系。人類第一個認識的數系,就是常說的“自然數系”。自然數系是一個離散的,而不是稠密的數系,它作為量的表徵,它只限於去表示一個單位量的整數倍,而無法表示單位量的部分。在自然數系中只能施行加法和乘法,而不能自由地施行它們的逆運算,即減法和除法。這些缺陷,由於分數和負數的出現而得以彌補。
二、引入分數,承認負數。形成有理數系
原始的分數概念來源於對量的分割。分數看作是正整數的比,這相當於自然數系中引入除法運算。為了使減法運算在自然數系內也通行無阻,負數的出現就是必然的了。盈餘與不足、收入與支出、增加與減少是負數概念在生活中的實例,教科書在向學生講授負數時也多搪此理,這就產生一種誤解:似乎人類正是從這種具有相反意義的量的認識而引進負數的。
而事實表明,負數的概念和運演演算法則首先出現在中國《九章算術》的“方程”一章中,因為對“方程”進行兩行之間的加減消元時,就必須引入負數和建立正負數的運演演算法則。負數雖然通過阿拉伯人的著作傳到了歐洲,但16世紀和17世紀的大多數數學家並不承認它們是數,或者即使承認了,也並不認為它們是方程的根。如韋達(Vieta,1540一1630)完全不要負數,巴斯卡(Pascal,1623—1662)則認為從。減去純粹是胡說。負數是人類第一次越過正數域的範圍,此前種種經驗,在負數面前全然無用。在自然數系中引入除法和減法運算,得到分數和負數的概念之後,自然數系就擴充成了有理數系。
古希臘數學的祖師之一畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”,而數就是正整數(非零自然數),分數看作整數之比。除此之外,他們不認識,也不承認有別的數。他們相信,任何量都可以表示成兩個整數之比。從幾何上講,對於任意給定的兩條線段,總能找到第三條線段,以它為單位(即公度)線段能將給定的兩條線段劃分為正數段。希臘人稱這樣給定的兩條線段為“可公度量”,意思是有公共的度量單位。畢達哥拉斯學派討論的數僅限於可公度的量。原意是“可表達的”、“可比的”和“有理由的”的意思,這就是有理數名稱的由來。然而,畢達哥拉斯學派後來卻發現,並不是任意兩條線段是可公度的。例如,正方形的對角線與其一邊就不能構成可公度線段。對於不可公度量,被認為是“不可比的”、“不可表達的”和“無理由的”,這就是無理數名稱的由來。
三、接受無理數,完善實數理論
無理數的發現對畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的信條造成了強烈的震撼。後來,人們又陸續發現了拉以外的許多無理數,如中國古代數學在處理開方問題時,也不可避免地碰到無理根數。這些“怪物”深深地困擾著古希臘的數學家們,這就是數學史上的“第一次數學危機”。
無理數(不可公度量)的發現,擊碎了畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的美夢,同時也暴露出有理數系的缺陷。一條從原點出發的直線上任意一點與原點的距離(線段長),如果是可公度的,則對應一個有理數,如果是不可公度的,則找不到一個數與之對應,這說明直線上漏出了許多“孔隙”,儘管有理數有很多,在直線上是“稠密”公布的,但都不是連續的,不能與直線上的點形成一一對應。這是一個很困擾人的問題,它使得幾何學在邏輯上繞不過不可公度障礙,勢必形成幾何學與算術的分離,如此一來,古希臘人把有理數視為連續銜接的設想就徹底地破滅了。
無理數是什麼?現在的回答是:無限不循環小數。然而,什麼是無限?如何判斷不循環?兩個無限不循環小數如何相加、相乘?法國數學家柯西(A.Cauchy,1789—1875)給出了回答:無理數是有理數序列的極限。如此一來必須在有理數系中引入極限運算。然而按照柯西的極限定義,所謂有理數序列的極限,意指預先存在一個確定的數,使它與序列中各數的差值,當序列趨於無窮時,可以任意小。但是,這個預先存在的“數”又從何而來呢?我們姑且像柯西一樣,把有理數序列的極限看成是先驗地存在的。這個極限可能是無理數,也可能是有理數,我們統稱她是實數。

定理


實數系的基本定理也稱實數系的完備性定理、實數系的連續性定理,這些定理分別是確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理和柯西收斂準則,共7個定理。
它們彼此等價,以不同的形式刻畫了實數的連續性,它們同時也是解決數學分析中一些理論問題的重要工具,在微積分學的各個定理中處於基礎的地位。
7個基本定理的相互等價不能說明它們都成立,只能說明它們同時成立或同時不成立,這就需要有更基本的定理來證明其中之一成立,從而說明它們同時都成立,引進方式主要是承認戴德金公理,然後證明這7個基本定理與之等價,以此為出發點開始建立微積分學的一系列概念和定理。