數學基礎

對於數學基礎的關注和研究，可追溯至古代。但在較長的歷史階段中，只限於對單科數學分支基礎的討論。至於作為整個數學理論基礎的探索，尤其是“數學基礎”作為一門專門學科的形成和誕生，乃是20世紀初的事。當時也是由於多種因素和研究活動的匯合，尤其是在作為整個經典數學之理論基礎的集合論中出現悖論之後，才把數學基礎問題的研究推向高潮，並進一步促進了數學哲學的發展，直至最終成為20世紀數學領域中深入的研究活動之一。

關於幾何基礎的研究。歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》一直被公認為是最早用嚴格的邏輯結構建立學科體系的典範。但其不足之處也一 直為歷代學者所關心。直到19世紀末，德國數學家希爾伯特(Hilbert，D.)才第一次給出了一個完備的歐幾里得幾何公理系統，這就是希爾伯特《幾何基礎》一書的核心內容。關於歐幾里得幾何基礎研究的另一個重要線索，來自關於第五公設問題的探討，長達兩千年之久對第五公設的所有試證全告失敗，由此導致非歐幾何的建立和引起人們對於幾何公理系統相容性問題的注意。後來知道：只要假定實數系統是相容的，那麼歐幾里得幾何公理系統和羅巴切夫斯基幾何公理系統都是相容的。而實數系統究竟相容與否，最終還是要歸結到作為整個經典數學理論基礎的集合論系統相容與否。

在其他方面，也有類似的涉及數學基礎的問題。公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的古希臘數學家希帕索斯

(Hippasus，(M))發現了等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可通約，由於當時人們對於無理數的概念還一無所知，因而上述發現致使人們驚奇不安，數學史上稱為第一次數學危機。數學史上又把18世紀微積分誕生以後在數學界產生的混亂局面稱為第二次數學危機。在17世紀和整個18世紀，一方面微積分的理論和應用得到了廣泛而迅速的發展，另一方面整個微積分卻又是建立在含混不清的無窮小概念上，以致遭到各方面的非難和攻擊。其中最為著名而激烈的攻擊來自貝克萊(Berkley，G.)大主教，有所謂貝克萊悖論等。這就不能不迫使數學家們認真投入到如何為微積分奠定理論基礎的工作中去。首先是法國數學家、力學家柯西(Cauchy，A.-L.)系統地發展了極限論，德國數學家戴德金(Dedekind，(J.W.)R.)在實數論基礎上證明了極限論的基本定理，德國數學家康托爾(Cantor，G.(F.P.))和德國數學家外爾斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))避開了實無限小和實無限大的概念，發展了ε-δ方法和精化了極限論，從而避開了貝克萊悖論並給出解釋方法。當時普遍認為極限論作為嚴格的分析基礎的建立，數學的第一和第二次危機已獲解決。但在實際上，建立極限論是以實數理論為基礎的，而要建立嚴格的實數理論，又必須以集合論為基礎，亦即最終還是歸結到作為整個經典數學理論基礎的集合論是否相容的問題.

19世紀，數學的各個分支都得到了迅速的發展，亟待建立一種能以統括各個數學分支的理論基礎。這時康托爾系統地總結了長期以來數學的認識與實踐，締造了一門嶄新的數學學科，即集合論。由於集合論的思想方法滲透到各個數學分支，同時從集合論的基本概念和思想規定出發，能導出整個經典數學，因此，大家公認集合論可以作為整個經典數學諸分支學科的共同的理論基礎。但在集合論中卻又偏偏出現了悖論，特別是那個十分基本而又直接涉及邏輯理論本身的羅素悖論的出現，驚動了整個西方數學界、邏輯學界和哲學界，人們恰當地將集合論悖論的出現所造成的困難局面，稱之為第三次數學危機，而且在實質上是第一、第二次數學危機的進一步深化和發展，因為涉及的範圍更大，涉及的問題更深.

正是在這樣的歷史背景下，“數學基礎論”這一數學分科在20世紀初誕生了，擺在從事數學基礎問題研究的數學家面前的首要任務，就是如何為數學的有效性重新建立可靠的依據。由於在這一工作中所持的基本觀點不同，以致在數學基礎的研究中形成了諸如邏輯主義派、直覺主義派、形式主義派等不同的流派。另一方面，在如何避免悖論的研究中，直接導致了作為排除悖論的重要方案之一的近代公理集合論的發展，在近代公理集合論中，能對歷史上已經出現之邏輯數學悖論一一給出解釋方法，即保證這些悖論不在近代公理集合論中出現，同時迄今也未發現有新的悖論在系統內出現，但卻未能從理論上證明近代公理集合論在今後的展開中永遠不會出現矛盾。因而近代公理集合論相對於康托爾的古典集合論而言，為整個經典數學提供了一個相對牢固的理論基礎。還應指出，近代公理集合論是立足於修改康托爾的概括原則而去實現避免悖論出現的.

能否在集合論公理中保留概括原則而避免悖論?20世紀30年代，波茨娃爾(Бочевар，B.)曾考慮不修改概括原則，而立足於發展多值邏輯去避免悖論的出現，但卻始終未能達到這一目標.

20世紀60年代，美國控制論專家扎德(Zadeh，L.A.)明確提出要用數學的手段和方法去處理那些為經典數學所拒絕研究的模糊現象，並由此創立了模糊數學。這標誌著數學的發展已進入數學研究對象由精確性到模糊性的再擴充時代.20世紀後期，模糊數學發展迅速，應用範圍極為廣闊。但在另一方面，模糊數學也同樣面臨著一個如何奠定其理論基礎的問題。解決這一奠基問題的方案有如下三種：其一是將模糊數學直接或間接地奠基於近代公理集合論，但這樣發展起來的模糊數學只能成為經典數學的分支，而不能在更高的形式下包括經典數學；其二是為模糊數學建立它所特有的公理集合論系統；其三是拓寬精確性經典數學的邏輯基礎和集合論基礎，在數學基礎理論意義下解決模糊謂詞的造集問題，以求能為精確性經典數學和未來的不確定性數學(應在內容和方法上有別於扎德的模糊數學)提供一個共同的理論基礎.

最後還應特別提到與數學基礎論的發展有密切關係的另一個研究領域，這就是作為數學與哲學之間的邊緣學科的數學哲學。數學哲學與哲學密切相關，但又與數學發展中的那些具有最普遍意義的課題有密切關係。當然，對於數學哲學的研究，無論是東方或西方，均可追溯到古代，但在很長的歷史階段中，數學哲學又只是作為自然哲學的一部分而未能形成獨立的學科。直到19世紀末和20世紀初，由於數學基礎論的誕生和發展，由於迫切需要深入研究數學領域中的那些帶有極端普遍和根本性的問題，才促使數學哲學的研究日趨專門化，而最終形成獨立的學科。特別是現代數學的蓬勃發展，又提出了一系列深刻的數學哲學問題，致使數學哲學這一學科進一步趨向全面繁榮的階段。所以，數學哲學既是一個古老的研究領域，又是一門年輕的新興學科。這一學科的研究價值和在數學發展中的作用日益明顯，特別是關於數學認識論、數學方法論，以及數學發展規律的研究，有許多深刻的課題有待於人們去深入探索。數學哲學的研究包括數學本體論、數學認識論、數學方法論、數學發展的外在因素、數學發展規律以及數學哲學家的不同流派和觀點等方面。數學哲學的研究將對數學工作者的世界觀、思想方法、研究興趣和研究力量的分佈，甚至數學研究的基本趨勢，都會產生重大影響.

數學上，數學基礎一詞有時候用於數學的特定領域，例如數理邏輯，公理化集合論，證明論，模型論，和遞歸論。但是尋求數學的基礎也是數學哲學的中心問題：在什麼終極基礎上命題可以稱為真?

占統治地位的數學範式是基於公理化集合論和形式邏輯的。事實上，所有的數學定理都可以用集合論的定理表述。數學命題的真實性在這個觀點下，不過就是該命題可以從集合論公理使用形式邏輯推導出來。

這個形式化的方法不能解釋一些問題：為什麼我們選擇我們所用的而不是其他的公理，為什麼我們使用我們所用的邏輯規則而不是其他的，為什麼"真"數學命題(例如，算數的皮亞諾公理)在物理世界中似乎是真的。這被Eugene Wigner在1960年叫做“數學在自然科學中無理由的有效性”(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。

上述的形式化真實性也可能完全沒有意義：完全可能所有命題，包括自相矛盾的命題，都可以從集合論公理導出。而且，作為歌德爾第二不完備定理的一個結果，我們永遠不可能知道事情是不是就是這樣。

在數學現實主義(有時也叫柏拉圖主義)中，獨立於人類的數學對象的世界的存在性被作為一個基本假設；這些對象的真實性由人類發現。在這種觀點下，自然定律和數學定律有同樣的地位，而"有效性"不再"無理由"。不僅是我們的公理，而且是數學對象的真實世界構成了基礎。那麼，明顯的問題在於，我們如何接觸這個世界？

一些數學哲學的現代理論不承認基礎在其原始意義上的存在性。有些理論傾向於聚焦於數學實踐，把目標設定於描述和分析數學家作為社交群體的真實工作。其他的試圖創造一個數學認知科學，聚焦於把人類的認知作為數學應用到"現實世界"時的可靠性的起點。這些理論建議只在人類的思考中找到基礎，而不是任何"客觀"的外在構造。這個主題一直很有爭論性。

第一次是公元前5世紀畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現不可共度線段：正方形的一邊與其對角線不可公度，即發現不是有理數。這次危機導致無理數及幾何公理系統的建立——歐幾里得幾何原本誕生。儘管原本還不是嚴格的公理系統，但它充分表明直觀、經驗不可全信，幾千年來對幾何學的研究，特別是後來對非歐幾何的研究促使幾何學走向嚴格的公理化。嚴格公理化的幾何就是幾何基礎也是數學基礎的一部分。

17世紀後半期I.牛頓和G.W.萊布尼茲創立了微積分學，但他們對無窮小的解釋很難令人滿意，英國主教G.貝克萊抨擊當時的微積分，指出它在邏輯上有明顯的問題，這便是第二次數學危機。這次危機的出現使數學家們意識到不為微積分建立牢固的基礎，只進行運算是不行的。19世紀A.L柯西、K.魏爾斯特拉斯等創立了極限論，以極限為基礎建立微積分學。A.魯賓孫於1960年創立了非標準分析，把實數域擴充到包含無窮小和無窮大的超實數域，圓滿解決了“無窮小的矛盾”問題。與此同時，傳統邏輯發展為數理邏輯。數理邏輯是數學基礎的重要內容。

數學上的第三次危機一般認為始於1902年B.A.W.羅素髮現的悖論，後人稱這個悖論為羅素悖論：以S表示所有不以自身為元素的集合的全體。按照集合論的概括原則（構成集合的原則），S應該是一個集合。問S是否是S的一個元素？如果S∈S，則按照S的定義應有SS；如果SS，則按S的定義又應有S∈S。無論哪種情況都導致矛盾。羅素悖論動搖了集合論，也動搖了當時的數學基礎。因為羅素悖論只涉及最基本的集合論概念：集合，元素，屬於和概括原則，它的構成十分清楚明白。這個悖論的出現說明以往的樸素集合論中包含矛盾，因而以集合論為基礎的整個數學就不能沒有矛盾。這個悖論也同時說明數學中採用的邏輯也不是沒有問題的。數學上的第三次危機使數學界和邏輯學界都感到問題的嚴重性。羅素悖論表明不能無條件承認概括原則，然而概括原則的改變將使集合論大為改觀，因此對整個數學的影響是巨大的。

集合論中包含矛盾這個事實，實際上稍早以前就已發現。樸素集合論的創始人G.康托爾，1895年就發現了“最大序數悖論”(所有序數的集合有更大序數)；1899年他又發現“最大基數悖論”（所有集合的集合有最大基數，但由這個集合的一切子集構成的集合有更大的基數）。對於這兩個悖論當時人們也感到吃驚，但認為這是集合論中的一些技術性問題，只要作一些技術改進就可消除，因此沒有引起人們的極大關注。

三次數學危機的發生是數學深入發展的結果，許多數學家為消除危機作了不懈的努力。這些努力促進了數學的發展，特別是促進了數學基礎的研究。其中第三次危機對數學的影響更大。人們公認集合論是數學的基礎，在數學中有著廣泛的應用，任何一門數學都離不開它。非歐幾何學的和諧性歸結為歐幾里得幾何學的和諧性；歐幾里得幾何學的和諧性又歸結為實數系統的和諧性；而實數系統的和諧最終歸結為集合論的和諧性。但集合論是有矛盾的。第三次數學危機開始時，很多數學家對集合論的改造持旁觀態度，認為可由邏輯學家去討論。後來發現這樣行不通，因為在數學論證中每人必須採用某一派的觀點，無法迴避。

自羅素悖論發現以來，對數學基礎的研究有三個主要派別：邏輯主義、形式主義和直覺主義。

以羅素和A.N懷特海為代表。他們認為所有數學概念都歸結為自然數算術的概念，而算術概念可藉助邏輯由定義給出。他們試圖建立一個包括所有數學的邏輯公理系統，並由此推出全部數學。邏輯主義認為數學是邏輯的延伸，在羅素的公理系統中不得不引用了非邏輯的選擇公理和無窮公理。如果沒有這兩條公理就無法推導出全部算術，更不用說全部數學。當然，羅素的公理系統充分發展了數理邏輯的公理體系，並且在此基礎上展示了豐富的數學內容，對數理邏輯和數學基礎的研究起了極大的推動作用，貢獻是很大的。

又稱構造主義。它的代表人物是L.E.J.布勞威爾。直覺主義者認為數學產生於直覺，論證只能用構造方法，他們認為自然數是數學的基礎。當證明一個數學命題正確時，必須給出它的構造方法，否則就是毫無意義的，直覺主義認為古典邏輯是從有窮集合及其子集抽象出來的，把它應用於無窮數學就必然引起矛盾。他們反對在無窮集合中使用排中律。他們不承認實無窮體，認為無窮是潛在的，只不過是無限增長的可能性。可構造性對數理邏輯及計算技術的發展有重要作用。但直覺主義使數學變得非常繁瑣複雜。失去了數學的美，因而不被大多數數學家接受。

以D.希爾伯特為代表，可以說是希爾伯特的數學觀點和數學基礎觀點。希爾伯特主張捍衛排中律，他認為要避免數學中的悖論，只要使數學形式化和證明標準化。為了使形式化后的數學系統不包含矛盾，他創立了證明論(元數學)。他試圖用有窮方法證明各個數學分支的和諧性。1931年K.哥德爾證明了不完全性定理，表明希爾伯特方案不能成功。後來許多人對希爾伯特方案加以改進。W.K.J.基靈利用超限歸納法證明了算術的無矛盾性。在數學基礎的研究中，魯賓孫，P.J.科恩自稱為形式主義者（希爾伯特本人不認為自己是形式主義者），他們認為數學所研究的不過是一些毫無內容的符號系統，“無窮集”，“無窮整體”等在客觀上是不存在的。希爾伯特的設想雖然沒有實現，但卻創立了證明論，又促進了遞歸論的發展，因此對數學基礎的研究有很大的貢獻。

古代由於科學技術發展水平的限制，無需專門研究數學基礎，這種情況一直持續到牛頓、萊布尼茲創立微積分的時代。非歐幾何的出現使人們意識到必須為數學建立不依賴於直觀的基礎，必須研究數學的可靠性，特別是無矛盾性，無公度線段的存在及集合論的悖論說明人們不能只依靠直觀，而必須為數學建立嚴格的邏輯基礎，解決數學的哲學基礎問題。因此數學基礎是包括哲學方法論和邏輯等諸方面問題的學科，數學基礎現已形成數學的重要分支之一。

#羅素悖論、康托爾悖論、數學基礎的“三大數學流派：

（徠本文編輯：奇東）

《古今數學思想》書中 (第四冊289頁) 指出：二十世紀數學中最為深入的活動，使關於基礎的探討，強加於數學家的問題，以及他們自願承擔的問題，不僅牽涉到數學的本質，也牽涉到演繹數學的正確性。

在這世紀的前期，有幾種活動匯合起來把基礎問題引到一個高潮，首先是矛盾的發現，委婉地被稱為悖論，在集合論中尤為突出。……。

《古今數學思想》書中 (第四冊290頁) 指出：“理髮師的悖論”，羅素在1918年把一個悖論通俗化成為“理髮師悖論”，一個鄉村理髮師，自誇無人可與相比，宣稱他當然不給自己刮臉的人刮臉，但卻給所有自己不刮臉的人刮臉，一天他發生了疑問，他是否應當給自己刮臉，假如他自己刮臉的話，則按他聲言的前一半，他就不應當給自己刮臉；但是假如他自己不刮臉的話，則照他自誇的，他又必須給自己刮臉，這理髮師陷入了邏輯的窘境。