彭紹定

破解阿爾伯特問題

“阿爾伯特絕對想不到，200年之後，他提出的問題竟然會和中國、和奧運會攀上關係。”

老人打開一本泛黃的《讀者文摘》，一個等式映入眼帘：

123789+561945+642864=242868+323787+761943

這就是阿爾伯特問題。

美國數學家阿爾伯特·貝勒曾發現和提出這樣一個問題：有兩組自然數，每組各有三個數，每個都是六位數字。把這兩組數分別相加，它們的和是完全相等的。把每個數添上平方符號后，其平方和還是相等。同時，如果把每個數從右邊（或左邊）開始同時抹掉最後一位、兩位、三位、四位、五位，對剩下的數來說，上述奇妙關係仍然成立。

這就像蟬每年脫一次殼之後，依然是那個噪柳的知了。

我國著名數學家、時任中國科普創作協會理事的談祥柏先生把這個問題翻譯過來，以《兩組自然數的金蟬脫殼法》為題編入上海科學技術出版社出版的《天下之奇》一書，並在文末寫道：“這類數論問題在國外一直吸引著大批數學愛好者，但至今仍未能徹底解決。”

彭紹定接觸這個問題是在1987年一次乘火車出差的途中。他看見旁座一位年輕人拿著《天下之奇》在看，書中《兩組自然數的“金蟬脫殼”法》引起了他的極大興趣。他借過來看了一會兒，沒看出什麼名堂，就把這篇文章一字不拉地抄下來了。

轉機出現在一次偶然之後。彭紹定試了大量數據之後，終於找出了第一對符合條件的數組，這讓他信心大增。他暗想，國外那麼多愛好者都沒有解決，並不能說明我們國家的愛好者就不行。1992年第3期《讀者文摘》又把這篇文章轉載出來，對彭紹定來說，好比注射了一針強心劑，他鑽研的勁頭更足了。

因為要上課，他只能利用晚上的時間鑽研。在家裡做研究是不行的，同在學校教外語的妻子蕭淑媛要備課，三個正在上學的女兒要寫作業。妻子用一張大桌子，大女兒和二女兒共用一張小桌子，小女兒的作業就在縫紉機上完成。彭教授沒了地方，只好每天吃完晚飯，騎著自行車往學校辦公室跑，每天“鑽”到晚上十一點才回家。有時候來了興緻，回家了還會繼續“戰鬥”，因為那時候桌子空出來了。

1992年下半年，他又斷斷續續找出了十多對滿足“金蟬脫殼”性質的數據。後來，他改變思路，從阿爾伯特問題的奇妙性質入手，從“平方和”上打開缺口，先後導出了三個定理和一個推論，大約花了4個月時間攻下“基本解”，初步掃除了征途上的障礙，於1992年除夕之夜完成了論文初稿。過完春節，他帶著初稿到長沙鐵道學院（現中南大學鐵道學院），請教時任《湖南數學通訊》副主編的肖果能教授。在其指點下，他把論文反覆修改，先後寫出了第二稿、第三稿和第四稿。因為這個問題對平方和有嚴格的要求，所以他把該問題定為“嚴格等平方和問題”。

1993年9月，彭教授把論文《嚴格等平方和問題的插配解法》送到湘潭大學學報編輯部，經湘潭大學三位老教授近三個月仔細審閱之後，才在1994年第一期湘潭大學學報上發表。編輯在論文摘要中寫道：“本文解決了一道世界數學難題，作者在尋求該問題基本解的基礎上導出了一個插配解法，用此方法既能迅速求解，又能簡捷地構造出每組為任意個數、每個數為任意位，且符合嚴格等平方和條件的兩組數。”

彭教授從理論上對徹底解決阿爾伯特問題的四個方面作了回答。他把其研究效果作了通俗的解釋：“給我一個鐘頭，我可以構造出阿爾伯特發現的那些奇妙的等式：每邊30個數，每個數達到30位。如果給的時間更多，每邊可以達到100個數，每個數可以達到100位，甚至更多。”他拿出一本類似於對數表、三角函數表那樣的數據表格給我們看：“我將所有可能出現的數字，藉助電腦設計了一本插配手冊，可以像農民插秧似的將數字插進去，從而構成一個龐大的數學等式。”

那麼，解決阿爾伯特問題就只是為了構成這麼一個龐大等式嗎？有什麼實際用處呢？彭教授娓娓道來：“數學是自然科學的基礎，要打科學攻堅戰，數學必須充當先鋒。十八世紀，當牛頓和萊布尼茲提出積分理論時，人們不以為然，還將積分符號‘∫’嘲為‘豆芽菜’。殊不知，兩百年後衛星上天、人類做客月球，靠的就是這根豆芽菜。華羅庚在抗日戰爭時期用‘繆比烏斯函數’成功地破譯了日軍的軍事秘密，靠的就是數論。因此，數論雖然很抽象，可非常有用，所以西方才會懸賞數百萬美元征解‘哥德巴赫猜想’和‘費爾馬大定理’。阿爾伯特問題雖然算不上‘哥德巴赫猜想’那樣的明珠，但我相信，總有一天是能派上用場的。”

1995年，彭教授的這篇論文又為中國科學院主辦的《中國數學文摘》1995年9卷1期收錄。

問題是解決了。但是，當時的彭紹定還不知道這道題的來龍去脈，只知道是由談祥柏先生翻譯的。他想，一定得見見談祥柏先生，當面向他請教。於是，彭紹定根據談祥柏寫的一本由中國青年出版社出版的書，千里迢迢趕到北京找到了該出版社，從那裡獲知了談祥柏先生在上海的住址，又馬不停蹄地去了上海。

談到當時的見面，彭教授記憶猶新：“談教授跟我聊了很多。他告訴我這個問題是由阿爾伯特提出來的，世界上很多數學家都曾探討過這個問題，但在國際數學重點期刊上發表的文章只有9篇，有所進展，但並未完全解決。談教授對我說：‘你能捷足先登，論文能為權威雜誌《中國數學文摘》收錄，說明這個問題由中國人解決了。’”

探索洛書數學內涵

1997年的一天，從講台上退下來的彭教授，在一本《康熙大帝》中看到這麼一句話：“天子如此重才，真可謂‘河圖洛書出，天下禮樂興’。”想起《易經》也提到過洛書，他就覺得奇怪了，為什麼洛書總被跟吉祥牽扯到一起呢？

彭教授四處尋找，終於在湘潭大學圖書館找到了洛書原文。《漢書》記載：相傳大禹治水時，有一神龜從洛河浮出，龜背上刻有一個“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五居中央”的數字圖騰。這就是原始的洛書。後來，在漢書《五行志》上，謂《洪範》文中的“初一曰五行”起，到“畏用六極”共65個字，為洛書本文，晦澀難懂。

“我心裡一動，早在中學時，數學老師就曾介紹過這個圖騰，名為‘九宮圖’，其橫向、縱向、斜向上三數之和皆為15。原來洛書也是一個數學問題，還跟金蟬脫殼有相似的地方。我想，會不會真有像金蟬脫殼一樣的‘玄機’呢？”

於是，彭教授就把洛書圖騰臨摹下來，鋪在桌子上，翻來覆去地看。他並沒有停留在“三數之和皆為15”的性質上。有一天，他嘗試著將每個數字都添上平方符號后再求和，想不到結果還是相等；再將數碼橫向聯合、縱向搭配，發現結果還是相等。

這個結果讓他喜不自禁，他繼續不停地改變圖騰旋轉方向和數組，結果證實，只要不改變這幾個數字的排列順序，以位居中央的5為圓心，無論圖騰怎麼旋轉翻滾，所得到的天文數字的平方和總是相等。更進一步，從高等數學角度來看，洛書就是一個三階行列式，計算方法為4×5×6+9×7×8+2×3×1-2×5×8-7×1×4-6×3×9,其值剛好為360。我們古時的曆法一年為360天，一個圓為360度，洛書會不會有祝福人們圓圓滿滿的寓意呢？難道這就是洛書被賦予吉祥之意的原因嗎？

彭教授有自己的理解：“我是教數學的，我只能從數學的角度來解釋：中華民族是一個以和為貴、愛好和平的民族，而洛書圖騰橫向、縱向、斜向的三數之和相等，而且其平方和總是上下相等、左右平衡。從數學的角度來說，這也是一種和諧，所以才被抹上了一層神秘色彩。但是，不能把它簡單歸結為迷信。洛書確實有一些奇妙的性質，跟八卦、易經這些東西一樣。我們要科學地對待，要有選擇地繼承和發揚。”

“中華民族自古善良，且注重人性馴養、道德教化、忠孝為人、友睦處世。洛書既然有吉祥寓意，能不能運用它來表述一個人的精神追求和感情傳達呢？”這是彭教授一個大膽設想。於是，他根據數字與民俗學以及民俗語言學、民俗心理學之間的密切聯繫，通過藝術形象化、運用洛書原理，設計了種種吉祥圖案，其中“福祿壽喜數碼圖”被國家專利局認可，獲得了國家“標貼”專利。

彭教授認為，求福之心，人皆有之，但要恰如其分，不能超越可能的範圍。他正在繼續用洛書原理設計吉祥圖，增強人們熱愛生活的信念。同樣，這個吉祥原理也被用到了奧運奇式中。

致力於數學趣味化

“探索世界數學難題和古文化洛書固然意義重大，但關心下一代的學習更是重要。”彭紹定從事數學教學工作幾十年，他深深體會到，嚴謹的數學不一定要依靠嚴肅的表達方式。他說：“很多人學不好數學，並不是他不聰明，而是有一種畏難情緒，從內心就抵觸數學。得想想辦法。”

在想辦法的過程中，彭教授遇到了這樣一件事。

一天，彭教授走出學校，看見一堆人圍著一個自稱來自香港的神算，“不用你開口，就知道你貴姓”。這位“神算”拿著一大疊紙片，掛了一個長條，上面分幾塊寫著百家姓，只要一問一答兩個回合就能猜到人的姓，試一次10元錢。

“我覺得很奇怪，就暗暗跟著那個人看了好幾天。有時候也會丟下10元錢，親身感受一下。後來，我發現，那些紙片是用00001、00010、10100等來標誌的。那不就是我們熟悉的二進位嗎？我恍然大悟，原來這是一個暗藏的平面坐標系。確定了橫坐標和縱坐標，點的位置就不難判斷了。而這個遊戲中的卡片和二進位數碼，就分別相當於一個橫坐標、一個縱坐標。通過一問一答，兩個‘坐標’信息就明確了，別人的‘貴姓’自然不用開口問了。”知道了竅門的彭教授高興不已，跑回家做了兩套類似的姓氏卡片，拉著老伴一一試驗，果然很准。

一個遊戲就能反映一個數學問題！這個結論讓彭教授很受啟發：“我們現有的數學教材大都是推導嚴謹、論述精確，但難免會讓學生產生單調枯燥的感覺。17世紀的法國數學家帕斯卡說得對，‘數學是一門嚴肅的學科，我們應當千方百計把它趣味化。’”

其實，從上個世紀九十年代起，彭教授就開始致力於數學的趣味化。他將中小學一些基本的數學原理和運演演算法則，例如最小公倍數、二進位、數列等，編成遊戲，設計出數學智力棋，於1997年獲得中國專利。後來，他又受《西遊記》啟發，把這些遊戲與傳說中的悟空、八戒聯繫起來。

“悟空鬼靈精怪，八戒憨態可掬。悟空經常拐著彎數落八戒，說得中肯卻也幽默。如果我把他們請進遊戲中，用悟空戲耍八戒的方式來啟發孩子們學數學，這不是很好嗎？”

說干就干。從2004年開始，彭教授潛心完善遊戲。他分三步走：第一步，儘可能使遊戲項目魔術化。比如“三九幻術”，他將27張撲克牌擺成3排，每排9張，讓人牢記某一張撲克在哪一排。然後，又進行兩次“收”和“放”。再問這張撲克牌分別位於哪一排。得到準確答案之後，他用布蒙住眼睛，立馬就能抽出這張牌。這就是空間坐標原理。第二步，將遊戲故事化。他把遊戲寫成神話故事，讓孫悟空和豬八戒這對詼諧幽默的師兄弟充分運用遊戲規則互相戲耍，使數學問題變得有鼻子有眼，生動活潑。第三步，請來一位美術教授做了10幅精美的彩色插圖，圖文並茂，更討孩子喜歡。

這三步，彭教授走了三年。2007年，他終於寫出了《猴哥戲八戒》這本書，集神話故事、遊戲和數學知識於一體，將精心設計的18個遊戲的數學原理進行了詳細闡述。為了方便表演，彭教授又將相關道具如魔板、棋子、彩圖等一併製作配齊，最終成為了一套益智產品。

“馬克思曾經說過，一種科學只有在成功地運用數學時，才算達到了完美的地步。可見數學是多麼重要。我希望，孩子們將來不再害怕數學，都能喜歡上它。”

導出北京奧運奇式

彭紹定是一位體育愛好者。讀大學時，曾是學院足球隊成員。北京舉辦奧運會，更是讓他激動萬分。

1908年8月，中國著名教育家張伯苓去歐洲考察，正好碰上倫敦舉行第四屆奧運會。由此，張伯苓成為親臨奧運會的第一個中國人。從1908年第一個中國人觀摩奧運會，到2008年中國第一次舉辦奧運會，歷時整整100年。

“我是從舊社會走過來的人，我的祖父跟隨毛主席參加過秋收起義。我小時候家裡窮，我放學回來還要砍柴、放牛。後來解放了，生活慢慢變好了，我還上了大學，當了老師。如果沒有解放，沒有新中國，我不可能有今天，更不可能在有生之年在家門口看奧運。所以，我深深知道今天的日子來之不易。老百姓說得好，沒有共產黨，就沒有新中國。我要加上一句，沒有新中國，就沒有2008年北京奧運會。”

“但是，怎樣才可以為奧運做點事情呢？我看過關於一位詩人的報道，說他能把別人的名字融進詩裡面，表達一些祝福的意思。這讓我動了心思。他是做詩的，可以用文字來表達祝福；我是研究數學的，就可以用數學的方式來表達。”

去年8月，彭教授辭去了退休后在廣州找的工作，專心研究。經過大量分析，他把目標鎖定在奧運會的開幕日期和新中國成立之日這兩個特殊的日子上。

“在很長的一段時間內，我腦海里時刻閃現著兩組數據：一組是新中國成立的日子1949年10月1日，“194 9101”；另一組是北京奧運會開幕的時間：2008年8月8號晚上8點，200 8888。到底怎樣才能把這些數字聯繫起來呢？以前想過的問題在腦海里一一浮現，也許可以用阿爾伯特問題、洛書來解決。”

經過30多個日夜的反覆推算，他終於把這兩組數據聯繫起來：運用洛書中的數學原理，參照阿爾伯特問題的表達方式，他列出了一個左右兩邊均為14個數相加的等式，將“194 91 01"、200 8888這14個數字分別作為等式兩邊前7個數的首位數碼，導出了一個奇妙的數學等式：兩邊和相等，兩邊平方和也相等，而且具有很多奇怪的性質。彭紹定將其命名為北京奧運數學奇式，並希望能開展對該數學奇式的征解活動，以探索更多的解答方法。

說這句話時，年近70的彭紹定神采飛揚。現在的他，每天清晨還堅持快走6000多米，上午不是在乒乓球台前揮拍，就是與人家在象棋局上斗弈。中央電視台奧運頻道更是他每晚必嘗的“夜宵”。

在彭紹定電話本的扉頁上，我們看到了四句話：“盛年不再來，一日難再晨。及時當勉勵，歲月不待人。”穿著白襯衫、黑褲子，走在驕陽下的彭教授健步如飛。