牛頓－萊布尼茨公式
微積分基本定理
牛頓-萊布尼茲公式（Newton-Leibniz formula），通常也被稱為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯繫。
牛頓-萊布尼茨公式的內容是一個連續函數在區間[a，b]上的定積分等於它的任意一個原函數在區間[a，b]上的增量。牛頓在1666年寫的《流數簡論》中利用運動學描述了這一公式， 1677年,萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式。 因為二者最早發現了這一公式，於是命名為牛頓-萊布尼茨公式。
牛頓-萊布尼茨公式給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法，大大簡化了定積分的計算過程。
牛頓-萊布尼茨公式的意義就在於把不定積分與定積分聯繫了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。
1666年10月，牛頓在它的第一篇微積分論文《流數簡論》中解決了如何根據物體的速度求解物體的位移這一問題，並討論了如何根據這種運算求解曲線圍成的面積，首次提出了微積分基本定理。
德國數學家萊布尼茨在研究微分三角形時發現曲線的面積依賴於無限小區間上的縱坐標值和，1677年，萊布尼茨在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理：給定一個曲線，其縱坐標為y，如果存在一條曲線z，使得dz/dx=y，則曲線y下的面積∫ydx=∫dz=z。
牛頓-萊布尼茨公式
我們知道，對函數f(x)於區間【a,b】上的定積分表達為：
b(上限)∫a（下限）f(x)dx
現在我們把積分區間的上限作為一個變數，這樣我們就定義了一個新的函數：
Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(x)dx
但是這裡x出現了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數的自變數，但定積分中被積函數的自變數取一個定值是沒意義的。為了只表示積分上限的變動，我們把被積函數的自變數改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了：
Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt
接下來我們就來研究這個函數Φ(x）的性質：
1、定義函數Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt，則Φ’(x)=f(x)。
證明：讓函數Φ(x)獲得增量Δx，則對應的函數增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
顯然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x與x+Δx之間，可由定積分中的中值定理推得，
也可自己畫個圖，幾何意義是非常清楚的。)
當Δx趨向於0也就是ΔΦ趨向於0時，ξ趨向於x，f(ξ)趨向於f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)
可見這也是導數的定義，所以最後得出Φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函數。
證明：我們已證得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（積分區間變為【a,a】，故面積為0），所以F（a）=C
於是有Φ(x）+F（a）=F（x），當x=b時，Φ(b)=F（b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再寫成x，就變成了開頭的公式，該公式就是牛頓-萊布尼茨公式。
牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變數是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程（積分法）。
牛頓-萊布尼茨公式的發現，使人們找到了解決曲線的長度，曲線圍成的面積和曲面圍成的體積這些問題的一般方法。它簡化了定積分的計算，只要知道被積函數的原函數，總可以求出定積分的精確值或一定精度的近似值。
牛頓-萊布尼茨公式簡化了定積分的計算，利用該公式可以計算曲線的弧長，平面曲線圍成的面積以及空間曲面圍成的立體體積，這在實際問題中有廣泛的應用，例如計算壩體的填築方量。
牛頓-萊布尼茨公式在物理學上也有廣泛的應用，計算運動物體的路程，計算變力沿直線所做的功以及物體之間的萬有引力。
