規範場論

規範“對稱性”反映了系統表述的一個冗餘性。

規範場論在物理學上的重要性，在於其成功為量子電動力學、弱相互作用和強相互作用提供了一個統一的數學形式化架構——標準模型。這套理論精確地表述了自然界的三種基本力的實驗預測，它是一個規範群為的規範場論。像弦論這樣的現代理論，以及廣義相對論的一些表述，都是某種意義上的規範場論。

最早包含規範對稱性的物理理論是詹姆斯·麥克斯韋的電動力學。麥克斯韋在他的論文里特別提出，這理論源自於開爾文男爵於1851年發現的關於磁矢勢的數學性質。但是，該對稱性的重要性在早期的表述中沒有被注意到。大衛·希爾伯特假設在坐標變換下作用量不變，由此推導出愛因斯坦場方程時，但它也沒有注意到對稱性的重要。之後，赫爾曼·外爾試圖統一廣義相對論和電磁學，他猜想“Eichinvarianz”或者說尺度（“規範”）變換下的“不變性”可能也是廣義相對論的局部對稱性。後來發現該猜想將導致某些非物理的結果。但是在量子力學發展以後，外爾、弗拉基米爾·福克和弗里茨·倫敦實現了該思想，但作了一些修改（把縮放因子用一個複數代替，並把尺度變化變成了相位變化—一個U(1)規範對稱性），這相應於帶電荷的量子粒子其波函數受到電磁場的影響，給定了一個漂亮的解釋。這是第一個規範場論。泡利在1940年推動了該理論的傳播。

1954年，為了解決一些基本粒子物理中的巨大混亂，楊振寧和羅伯特·米爾斯引入非交換規範場論，來建構將核子綁在原子核中的強相互作用的模型。（Ronald Shaw，在阿卜杜勒·薩拉姆指導下，在他的博士論文中獨立地引入了相同的概念。）通過推廣電磁學中的規範不變性，他們試圖構造基於（非交換的）SU(2)對稱群在同位旋質子和中子對上的作用的理論，類似於U(1)群在量子電動力學的旋量場上的作用。在粒子物理中，重點在於量子化規範場論。

該思想後來被發現能夠用於弱相互作用的量子場論，以及它和電磁學的電弱統一理論中。當人們意識到非交換規範場論能夠導出漸近自由的時候，規範場論變得更有吸引力，因為漸近自由被認為是強相互作用的一個重要特點—因而推動了尋找強相互作用的規範場論的研究。這個理論稱為量子色動力學，是一個SU(3)群作用在夸克的色荷上的規範場論。標準模型用規範場論的語言統一了電磁力、弱相互作用和強相互作用的表述。

1970年代邁克爾·阿蒂亞爵士提出了研究經典楊-米爾斯方程的數學解的計劃。1983年，阿蒂亞的學生西蒙·唐納森在這個工作之上證明了光滑4-流形的可微性分類和同胚性分類非常不同。麥可·弗里德曼採用唐納森的工作證明奇異R的存在，也就是，歐幾里得4維空間上的奇異微分結構。這導致對於規範場論作為數學理論的興趣逐漸增加，獨立於它在基礎物理中的成功。1994年，愛德華·威滕和Nathan Seiberg發明了基於超對稱的規範場技術，使得特定拓撲不變數的計算成為可能。這些數學上的成果也導致了對該領域的新興趣。

電路中接地的定義是規範對稱性的一個例子；當線路所有點的電位升高相同的值時，電路的行為完全不變；因為電路中的電位差不變。該事實的一個常見釋例是棲息在高壓電線上的鳥不會遭電擊，因為鳥對地絕緣。

這稱為整體規範對稱性。電壓的絕對值不是真實的；真正影響電路的是電路組件兩端的電壓差。接地點的定義是任意的，但一旦該點確定了，則該定義必須全局的採用。

相反，如果某個對稱性可以從一點到另一點任意的定義，它是一個局域規範對稱性。

規範理論通常用微分幾何的語言討論。數學上，一個規範就是某個主叢的（局部）截面的一個選擇。一個規範變換也就是兩個截面間的變換。

注意，雖然規範理論被聯絡的研究佔據了大部分（主要是因為它主要在高能物理中研究），聯絡這個概念一般而言其非規範理論的中心概念。事實上，一般規範理論的一個結果表明規範變換的仿射表示（也就是仿射模）可以分類到一種滿足特定屬性的節叢的截面。有些表示在每一點共變（物理學家稱其為第一類規範變換），有些表示象聯絡形式一樣變換（物理學家稱其為第二類規範變換，一種仿射表示），還有其它更一般的表示，例如BF理論中的B場。當然，我們可以考慮更一般的非線性表示（實現），但那很複雜。但是，非線性σ模型的變換是非線性地，所以它們也有用處。

若我們有一個主叢P其底空間是空間或時空而結構群是一個李群，則P的截面組成一個規範變換群的主齊性空間。

我們可以在該主叢上定義一個聯絡（規範聯絡），這可以在每個配叢上產生一個共變導數∇。若我們選擇一個局部標架（截面的局部基），我們就可以用聯絡形式A表示這個共變導數，一個值為李代數的1-形式，在物理學中稱為規範勢，它顯然不是內在性質，而是一個依賴於標架的選擇的量。從這個聯絡形式，我們可以構造麯率形式F，這是一個值為李代數的2-形式，這是一個內在量，定義為

其中d代表外微分而代表楔積。

無窮小規範變換形成一個李代數，可以被一個光滑李代數值的標量，ε所刻畫。在這樣一個無窮小規範變換下，其中是李括弧。

專用來量子化任何量子場論的方法也可用來量子化規範理論。但是，因為規範約束（參看上面的數學表述一節）的微妙性，會出現很多在其他場論不存在的技術問題，待為解決。同時，規範理論的更豐富的結構簡化了一些計算：例如Ward恆等式聯繫了不同的重整化常數。

第一個量子化的規範理論是量子電動力學（QED）。為此發展的最初的方法涉及規範固定和施行標準量子化。Gupta-Bleuler方法也被發展出來用於處理這個問題。非交換規範理論用很多不同的方法處理。量子化的方法在量子化條目有介紹。

量子化的要點，在於能夠計算理論所允許的各種過程的量子振幅。技術上，它們簡化為在真空態下的特定相關係數函數的計算。這涉及到理論的重整化。

當理論的變動耦合足夠小時，所有需要計算的量可以用微擾理論計算。設計用於簡化這樣的計算的量子化方案（例如標準量子化）可以稱為微擾量子化方案。

但是，在多數規範理論中，有很多有趣的問題是非微擾的。設計用於這些問題的量子化方案可以稱為非微擾量子化方案（像是格點規範場論）。這樣的方案的精確計算經常需要超級大量地計算，因而目前比其他方案的發展要少。

一些理論經典的對稱性在量子理論中不再成立—這個現象稱為一個反常。最出名的包括：

共形反常，它導致了一個變動耦合常數。在QED中，這導致了朗道奇點（Landau pole）。在量子色動力學（QCD）中，這導致漸近自由。

手征反常，出現在費米子手性或者矢量場論中。這通過瞬子的概念而和拓撲有緊密的關聯。

在QCD中，這個反常導致了π介子衰變成為兩個光子。

規範反常，在任何自洽的物理理論中必須消去。在電弱理論中，這個消去要求夸克和輕子數量相等。

● 標準模型，電弱理論，量子色動力學

● 量子規範理論

● 庫侖規範，洛倫茨規範，外爾規範

● 規範共變導數

● 卡魯扎-克萊因理論

● 大統一理論

● 萬有理論