歐氏環

歐氏環(Euclid ring)是比主理想整環更窄的環類。它是整數環、域上一元多項式環有帶余除法意義下的推廣。設R是整環，若存在到非負整數集內的一個映射δ適合條件：任給，對R中任意元b，恆有，使得，其中或，則稱R為歐氏環。整數環、域上一元多項式環都是歐氏環。

對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何，都有，，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算，使得R中任意元a，b，c適合條件：

1.R對加法為交換群，稱為R的加法群，記為；

2.R對乘法適合結合律，即是半群，稱為R的乘法半群；

3.乘法對加法的左、右分配律成立，即(左分配律)， (右分配律)；

則稱R為結合環，簡稱環(通常)。它是環論研究的主要對象。環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式，也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時，對非極小條件的環，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環理論，相繼蓋爾范德(Гельфанд，И.М.)創立了賦值環，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環理論。

20世紀40年代，根論迅速發展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念后，建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環的理論。20世紀50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創立了根的一般理論，環論已趨完善。

另一方面，由群表示研究的影響，產生模、群環與分次環的理論。20世紀20年代初，諾特引入了模的概念，並研究模對有限群表示的作用與環結構之間的關係，用模的語言去刻畫環，特別是20世紀50年代以後，同調代數的迅速發展，使環的理論進入更高層次雖然，早在1854年，凱萊(Cayley，A.)就引入了群代數，然而，它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代，受群表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的。20世紀70年代后，由於分次代數的推動，群代數進入新的階段——交叉積的研究。分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇，20世紀70年代以來，由於非交換代數幾何及群表示論的推動，環論已進入一個新的階段。

若環R的乘法適合交換律，則稱R為交換環。乘法半群的左(右)單位元，稱為環R的左(右)單位元。乘法半群的單位元稱為環R的單位元.的零元稱為環R的零元。在一個元構成的環中，零元是單位元，但兩個以上的元構成的環中，零元一定不是單位元。環R的一個非空子集合S，若對R的加法、乘法也構成環，則稱S是R的子環。S是R的子環當且僅當對任意恆有，。

比結合環條件較弱的是非結合環，非結合環與代數受量子力學的刺激發展起來，但其研究的方法和思路基本上沿著結合環的格式，並早已趨完整。比結合環更弱的環類是擬環與半環，雖然早在20世紀40年代，就分別由扎森豪斯(Zassenhaus，H.)和范迪維爾(Vandiver，H.S.)提出，但它們的發展是20世紀60年代以來，受自然科學和數學其他分支(如非線性同調代數、非線性幾何、泛函分析、組合數學、動力系統和計算機科學)的推動而迅速成熟起來的，現已成為環論的獨立分支。

集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若且滿足：

1.；

2.若，則；

3.若，，則；

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有應用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：

1.(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與么元)；

2.對任何，有；

3.對任何，若且，又；

則稱I為B上的理想。理想與濾子有非常密切的聯繫。

整數環是數集的一種代數結構。至少含一個數的數集S，若對加法、減法、乘法封閉，即對S中的任意二數都在S中，則稱S構成數環。

只有一個數0的數集{0}構成數環；並且任何數環都含有0；若數環S含非零數a，則S必含無窮多個數。全體整數集Z構成數環，稱為整數環。對某個整數n，n的所有整數倍的集合構成數環。特別，，全體偶數集構成數環，稱為偶數環，記做2Z.全體有理數集Q，全體實數集R，全體複數集C都構成數環。全體奇數集不能構成數環，因為，兩個奇數的和不再是奇數。全體形如的整數集也不構成數環。全體形如，(m，n為整數)的數集構成數環。代數學中環的概念正是數環概念的推廣和一般化。

整數環Z中帶余除法定理成立，整數論正是研究整數環性質的有關理論。