拓撲學引論

是近代發展起來的一個研究連續性現象的數學分支。中文名稱起源於希臘語Τοπολογία的音譯。Topology原意為地貌，於19世紀中期由科學家引入，當時主要研究的是出於數學分析的需要而產生的一些幾何問題。發展至今，拓撲學主要研究拓撲空間在拓撲變換下的不變性質和不變數。

舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那麼這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。這些就是拓撲學思考問題的出發點。

拓撲學建立后，由於其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以後，他把拓撲學概念作為分析函數論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。

二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關於任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。

因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯繫各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數關係。本世紀三十年代以後，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究曲線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯繫的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯繫。1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯繫，並推進了整體幾何學的發展。

拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重於用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重於用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。

拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數學分支中都有廣泛的應用。

江澤涵，數學家，數學教育家。早年長期擔任北京大學數學系主任，為該系樹立了優良的教學風尚。致力於拓撲學，特別是不動點理論的研究，是我國拓撲學研究的開拓者之一。

江澤涵於1902年１０月６日出生於安徽省旌德縣。父親江世才，幼年當過學徒，后經商。母胡氏。家中薄有田產，供子女讀書。江澤涵的家鄉江村是一個偏僻山村。童年時他進過私塾，后又上過鄉村小學。他奮發好學，學業突出。１９１９年初，他的堂姐夫、著名學者胡適回鄉探親，他遂跟胡適來到北方求學。當年夏天考入天津南開中學二年級，並且只用了三年時間，就修完了中學的全部課程。１９２２年，江澤涵升入南開大學數學系，開始了他漫長的數學生涯。在南開大學，他幸遇我國近代數學的先驅，著名數學家和教育家姜立夫教授，並從此師從姜立夫先生。１９２６年大學畢業后，姜立夫帶他去廈門大學數學系，讓他當自己的助教。在這朝夕相處的一年裡，他們的師生情誼更加深厚了。姜老先生的言傳身教，使江澤涵在做學問、教學、辦學以至為人等諸多方面都得益匪淺。