汪萊

汪 萊，字孝嬰，號衡齋，歙縣瞻淇人。數學、天文、經學、訓詁學、音韻學和樂律等都有很深造詣，尤以數學成就最著。嘉慶十一年（1806），為治理黃河水害，受命測量雲梯關（今江蘇淮安縣東北200里）、六塘河入海口高程。嘉慶十二年，以優貢生入京，考取八旗官學教習，入史館纂修《天文志》、《時憲志》。嘉慶十五年，調任池州郡石埭縣訓導，因廉潔自奉，盡心辦學，卒於任上。池州郡守撰文勒碑於明倫堂，表彰汪萊的辦學功績。

汪萊在P進位制、方程論、弧三角術和組合計算方面取得重要研究成果。當時普遍採用十進位制，汪萊認為不必“盡立數於十”，對於具體問題，究竟採用何種進位製為宜，原則上應當“審法與數相宜而已”。較之本世紀40年代隨著電子計算機的出現才興起的P進位制研究早150餘年。中國古代方程，多側重解法（開方術）及布列法（天元法），只求解方程的一個正根，對於方程根的個數及性質認識模糊。汪萊指出，二次方程有二根，並論證了三次方程正根與係數的關係和三次方程有正根的條件。汪萊對於方程的認識、根的存在與判別的研究，是我國方程理論研究的發端。汪萊說“弧三角之算，窮形固難，設形亦難，稍不經意，動乖其方”。他分別論證了已知三邊，三角，二角夾邊或二邊夾角，二角對一邊或二邊對一角等各種情況下有解的條件，其成就在梅文鼎、戴震、焦循諸家之上，汪萊將組合計算公式建立在中國傳統的賈憲三角形規律上，論證了組合運算及其若干性質。所得出的遞兼的定義、性質、計算公式以及恆等式均與現代組合運算結果相同，發現了組合規律，更賦予古老的賈憲三角形以組合的意義。

汪萊治學嚴謹，“人所言，不復言。所言皆人所未言與人所不能言”。主要著作有《衡齋算學》7冊、《馨氏倨句解》1冊、《參兩算經》、《校正九章算術及戴氏訂訛》、《四邊形演演算法》、《十三經註疏正誤》、《禹貢圖考》、《說文聲類》、《樂津逢源》、《衡齋詩集》等。

汪萊，字孝嬰，號衡齋，歙縣人。年十五，補博士弟子。弱冠后，讀書於吳葑門外，慕其鄉江文學永、戴庶常震、金殿撰榜、程徵君易疇學，力通經史百家及推步歷算之術。嘉慶十二年，以優貢生入都，考取八旗官學教習，會御史徐國楠奏請續修天文、時憲二志，經大學士首舉萊與徐准宜、許澐入館纂修。十四年，書成。議敘，以本班教職用，選授石埭縣訓導。十八年，應省試，得疾歸，卒於官，年四十有六。先是十一年夏，黃河啟放王營減壩，正溜直注張家河，會六塘河歸海。兩江督臣奉上命，查量雲梯關外舊海口與六塘河新海口地勢高下，延萊測算，蓋其精算之名，久為官卿所知。曾制渾天、簡平、一方各儀器觀測。

與郡人巴樹谷最友善，客江、淮間，又與焦孝廉循、江上舍籓、李秀才銳，辯論宋秦九韶、元李冶立天元一及正、負開方諸法。天性敏絕，極能攻堅，不肯苟於著述。凡所言，皆人所未言，與夫人所不能言。

嘗以古書八線之制，終於三分取一，用益實歸除法求之，其一表之真數，僅得十之二。因悟得五分之一通弦與五分之三通弦交錯為三角形，比例立法，以取五分之一之通弦，而弦切之數益密。梅氏環中黍尺，有以量代算之術，惟求倚平儀外周之兩角，而縮於內半周之角未詳。其法較易，因立新術，量取不倚外周之角度，而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三角、尖堆積法，不及三乘方以上，又復推而廣之，自三乘、四乘以上之尖堆，皆可由根知積。並及諸物遞兼之法，以補古九章所未備。

又糾正梅文穆公句股知積術，及指識天元一，正、負開方之可知、不可知。其糾正句股知積術也，文穆赤水遺珍稱：“有句股積及股弦和較求句股，向無其術，苦思力索，立法四條。”其門人丁維烈又造減縱翻積開三乘方法，文穆許之。萊謂：“句股形等積、等弦和，帶縱立方形等基、等高闊和，皆有兩形互易。如句二十，股二十一，弦二十九，句弦和四十九，句股積二百一十。若句十二，股三十五，弦三十七，句弦積亦四十九，句股積亦二百一十。設問者暗執一形，則對者交盲兩數。梅、丁諸公法成而不可用，蓋兩句弦較，與一句弦和，恆為連比例之三率。其兩句弦較，即首、末二率；兩較減一和之餘，即中率；而句弦和必為三率亻並。遂創立有兩積相等、兩句弦和相等、求兩句股形之法。以四倍句股積自乘，句弦和除之，為帶縱長立方積。以句弦和為縱，開得數為兩句弦較之中率，自乘為帶縱平方積。又以中率與句弦和相減為長闊和，求得長闊兩根為兩句股較，用求兩句股形各數。又同積之邊，彼此可互，三次之乘，先後可通，故四倍句股積自乘，即兩形之倍句相乘為底，兩形之股相乘為高，即猶以中末乘首。中化為中率，再乘為立方三率，亻並為帶縱。由是推得立方形兩高數恆為首末二率，高闊和恆為三率，亻並數與等積、等弦和之兩弦較及弦和絲毫無異。如高九闊十，高闊和十九，立方積九百。若高四闊十五，高闊和亦十九，立方積亦九百，其數莫不由兩形相引而出。故其法即命積為帶縱長立方積，以高闊和為所帶之縱。用帶縱長立方法開得本方根，為兩形高數之中率。與高闊和相減，餘為帶縱之平方長闊和。中率自乘，為帶縱平方積。用帶縱平方長闊和法開之，得長闊一根，為兩形之兩高數。兩高與和相減，為兩闊數。”

其指識正、負開方也，“元李冶傳洞淵九容術，撰測圓海鏡、益古演段，以明天元如積相消，其究必用正、負開方，互詳於宋秦九韶數學九章。梅文穆公雖指天元一為西人借根方所由來，而正、負開方則未有闡明者。元和李秀才銳特為讎校，謂少廣一章，得此始貫於一。好古之士，翕然相從。萊獨推其有可知、有不可知。如測圓海鏡邊股第五問‘圜田求徑二百四十步與五百七十六步共數’，而李仁卿專以二百四十為答。數學九章田域第二題‘尖田求積二百四十步與八百四十步共數’，而秦道古專以八百四十為答。乃自二乘方以下，縷析推之，得九十五條。凡幾根數為帶縱長闊較則可知，為帶縱長闊和則不可知。又推得幾真數少，幾根數又多，幾平方與一立方積等多少雜糅，和較莫定。立法以審之，以幾平方數用幾立方數除之，得數乘幾根數，以較幾真數。若少於真數，則以幾平方為高闊較，是為可知。若多於真數，則或幾平方為通分法，三母總數、幾真數為三母維乘之共數，幾根數為通分之共子，如二、如六、如十二。設真數一百四十四，少二百八，根數多二十，平方積與一立方積相等，則三數皆同，是為不可知。”

蓋以一答為可知，不止一答為不可知。故李秀才銳跋其書，括為三例以證明之。謂：“隅實同名者不可知；隅實異名，而從廉正負不雜者可知；隅實異名，而從廉正負相雜，其從翻而與隅同名者可知，否則不可知。隅實異名，即帶縱之長闊較也，較僅一答；隅實同名，即帶縱之長闊和也，和則不止一答。”銳以隅實同名、異名，明一答與不止一答；萊以長闊、和較，明可知、不可知，其義一也。著有衡齋算學七冊，考定通藝錄磬氏倨句解一冊。

汪萊（1768——1813），字孝嬰，號衡齋。安徽歙縣人。弱冠之年父親逝世，遂隻身去蘇州，於葑門外設館，以維生計。汪萊天資敏絕，有早慧之譽，一些重要論著多成稿於其青年時期，謂其“其學由自得，不假師授”（民國《歙縣誌·卷七》），或與其刻苦自厲有關。汪萊有學有識，多才多藝，除天算外，還通曉經史、釋老及音韻、訓詁、樂律、金石之學，工篆書，亦能詩，一生以設館課徒為業，雖曾參與編輯國史館《天文志》、《時憲志》，書亦不過授與一縣城之訓導而已。

汪萊的故鄉歙縣乃是徽派樸學的重要陣地，其青年時期就仰慕同鄉江永、戴震、程瑤田、金榜之卓著成就，遂致力於通曉經史百家及推步歷算之術。乾隆五十七年（1792），汪萊在故里製成渾天、簡平等儀器，用以觀測天象。同年，撰寫成以闡述第谷體系的行星及日月運行規律的《覆載通幾》，這是一部天文學著作，其中一些示圖是依靠幾何定理來作出的說明，創立了天算結合的研究模式，殊為難得。嗣後又多次前往揚州，設館課徒。蘇、揚是當時經濟文化發達、人文薈萃的地區，汪萊在此得以結識不少知名之士如焦循、李銳等人，特別是與焦循相交，友誼最深。“循稱當時精九數之學者，惟萊及銳。銳善言古人所已言，而闡發得其真；萊善言古人所未言，而引申得其間。銳，精實，如詩之有少陵；萊，超異，如詩之有太白。又稱萊天資敏絕，性能攻堅，極繁賾幽秘，他人翻復再三，未能理其緒。而萊目一二過，已貫達其條目……”焦循作為汪萊、李銳的好友，對二人深知有素，故所作評論，最為可信，故詳引之（李銳，出吳派大家錢大昕門下，數學造詣之高享譽學林）。嘉慶六年（1801），汪萊又由歙縣來到揚州，這次是應聘在翰林秦恩復家教館。秦氏五笥仙館貯有大量藏書，又時有名流學者前來聚會或造訪。汪萊在這裡認識了張敦仁、江藩、錢獻之等學者。同年秋天，汪萊離開揚州去六安，后二年返回揚州。嘉慶八年（1803），張敦仁來任揚州知府，聘李銳為他當幕賓。這時，汪萊、焦循、凌廷堪、沈欽裴等人都在揚州，彼此切磋學問，舊友新交，地靈人傑，營造了相當活潑歡快的學術研究氛圍。嘉慶十年（1805），夏鑾來到徽州，擔任新安訓導，到任后四處訪賢，適汪萊返鄉，舉薦他參加歲試，成廩生，后又薦舉為優行督學。夏鑾又命門生胡培翚、長子夏炘、四子夏燮向汪萊學習算學。次年兩江總督奉旨測量黃河新舊入海口地勢，延請汪萊主持，完成了測算任務。嘉慶十三年（1808），汪萊以優貢生赴北京，大學士祿康薦修國史天文、時憲二志，后授石埭（今石台）訓導，時考制樂舞等器17宗，158件。嘉慶十八年（1813）卒於任職，身後蕭然，石埭百姓出資送其歸葬於故鄉歙縣之梅嶺。

汪萊畢生致力於數學研究，其算學造詣曾為當時的同行專家所認可，焦循《加減乘除釋》、張敦仁《輯古算經細草》都曾請汪萊為之作序，其序文今收載在其最有代表性的著作《衡齋文集》之中，其中對球面三角形的解法作了比較詳細的論述，而之前梅文鼎、江永、戴震、焦循都曾為此撰文論述，然而都不及汪萊本書提出的“量角度新法”來得系統和詳審。汪萊提出在求解方程時方程根不只有一正根，亦有負根，並設96道例題加以證明，是中國數學史上關於方程根研究的一個突破。汪萊對於其他諸如弧三角形、勾股形、平圓形、弧矢關係、代數方程理論等專題都著有詳盡的闡述。汪萊終生不得志，但始終堅持治學，刻意求新，研究算學往往參用西法，其主要著述流傳至今，使後世在二百年後的今天，還得以窺見其才華和風采。

汪萊祖上以“詩書繼世，孝友傳家”為家訓，其父汪昌早失親，就此家道中衰。但汪昌博覽群書，能詩善文，並曾中舉人，撰有《靜山堂詩文集》。 1768年9月27日，汪萊就誕生在這樣一個貧寒的讀書人家庭，其出生地在歙縣瞻漠(今稱記)之靜山堂。

汪萊自幼秉承文學，6歲能詩，14歲入庫。當時款縣水、旱不斷，家中生活更加艱辛。有一次汪萊奉父母命進城典當衣 歸途遭惡犬咬嚙，在腿上留下了深深的傷疤。這種艱難的活環境，鑄就了他日後堅毅、頑強和獨立不羈的個性。

1788年，汪昌去世，汪萊也開始離家謀生。這一年他剛滿20歲，首先來到蘇州，在葑門外教館。在此期間，汪萊結識了著名學者焦循，並開始研讀《梅氏歷算全書》和《數理精蘊》等數學著作。1792年，汪萊返歸故里，在家中自製渾儀、簡平儀等並用它們來觀測天象，這一期間他完成了一部名為《參兩算經》的最早的數學作品。1796一1798年，汪萊先後與自己的同鄉好友巴樹谷、江玉討論數學，完成《弧三角形》和《勾股形》兩部書稿。 1789年，巴樹谷將此兩書合為一帙刊行，取名《衡齋算學》，這就是汪萊數學著作的最早刊本。同年汪萊鄉試不第，巴樹谷適有失子之傷，二人“移其情”於數學，“演得三干言”，這就是後來成了《衡齋算學》之三的《平圓形》。l799年，汪萊又應親戚汪應埔之請“構難題數端往諸算學博士”，此即又一篇《弧三角形》，連同舊著《遞兼數理》一道，後來成為《衡齋算學》之四。

1801年，汪萊由歙縣來到揚州，在翰林秦恩復家教館。秦家藏書頗豐，當時的揚州又是學士名流薈萃的中心，汪萊在此讀到了宋元數學家秦九韶、李冶的著作，又得以與張敦仁、江藩、錢獻之、李銳等相識。在對秦、李算書進行研究的基礎上，汪萊寫成了關於方程論的《衡齋算學》之五。這年秋天，汪萊離揚州赴六安，途中撰成《衡齋算學》之六。年底，汪延麟在揚州為他刊刻了六卷本的《衡齋算學》。

汪萊與乾嘉時代的另一個大數學家李銳初次會面於1800年。《衡齋算學》之五寫成后，他曾分送數人徵詢意見；其中唯有李銳理解他的用心，贊為“窮幽極微，真算氏之最”李銳又作跋文一篇，後來也被收入《衡齋算學》之中。 1804年，李銳應知府張敦仁之邀來揚州充任幕賓，當時焦循也在揚州，汪萊與他們二人交往頻繁，時人稱他們為“談天三友”。在此期間，汪萊繼續鑽研方程論，撰成《衡齋算學》之七。至此，汪萊的主要數學著作都已完成。

1805年，名學者夏鑾調任新安訓導，到歙縣后聞知汪萊賢名，立即前往造訪。兩人“一見稱莫逆，與語終日”，夏蠻稱汪萊為“天下奇才”，並令門生胡培惲子夏忻、夏曼從汪學習數學。1806年，汪萊曾應兩江總督鐵寶之請主持黃河新、舊入海口的高程測算，功成后依然返歙。1807年在歙縣以優行第一的成績考取八旗官學教習，被選調入京參與國史館的修歷工作。在北京期間，汪萊讀到明安圖《割圓密率捷法》遺稿，對自己當年關於割圓分弧的作品有所檢討。國史館的工作完成後，汪萊於1811年被分配到安徽石埭縣任縣學教渝。

汪萊志大才高，行為舉止幾近狂放，因此常與社會習俗衝突。他年輕時曾賦詩稱“我亦鄉間肆志人”， “興來大叫鬼神驚”。鄉試落第后自雲“抱下而泣”。夏忻描繪他的外貌為“長身玉立，鬚眉秀髮”，而他的氣質為“跪磊不平之氣，往往慷慨悲歌。”汪萊生前，學術界除焦循、李銳、夏蠻等少數人外，多數學者都不能理解他的成就。張敦仁曾譏評他的方程論研究“過苦”，後來又將自己的《開方補記》及搜訪到手的明安圖遺稿對他實行保密。曾與汪萊。、李銳都有交遊的江藩把他們二人的學術爭論加以渲染，說他們因論方程不合“遂如冠仇，終身不相見”，進而批評汪萊“過矣”。稍晚的羅士琳批評他“矯枉過正，未免失於偏。”駱騰風根本沒有理解他的原意，就攻擊他的方程論是“黯黔之詞以欺世”，並以“算學砭愚”為題指名道姓地批評他的著作。種種事實表明，汪萊是被當時以考據相標榜的乾嘉學圈視為異端的人物。

汪萊到石埭后，生活依然清寒。此時他已很少與外界發生聯繫，但遇縣學中有熱心數學的生員，則悉心教誨，不厭其煩。他臨終前幾個月夏鑾曾來看望，見其“顏色憔悴，悄然不樂”，就勸他再度著書；汪萊答道：“今世考據家陳陳相因，不過抄襲前言耳，非所發古人所未發也”。1813年12月4日，貧病交擾的汪萊死於任上。汪萊死後，家中蕭然，囊無餘資，石埭學生百姓感其清廉，輸資送其樞歸故里，葬於歙縣梅嶺之將軍打坐場。

汪萊生前，《衡齋算學》已．出過三種刊本，但都不是足本。他去世后，夏蠻十分關心他的遺稿，特囑長子夏忻與胡培翠加以搜集整理，后得《衡齋遺書》九卷，但長時間未能付樣。1854年，夏蠻四子夏燮調任都陽(今江西波陽)知縣，即從胡培翠後人處訪得《衡齋遺書》稿本，連同《衡齋算學》一道，刊成《衡齋算學遺書》合刻本。《衡齋遺書》個也包括多種數學作品。

其主要著述有《參兩算經》、《校正九章算術》、《戴氏訂訛》、《十三經註疏正誤》、《聲譜》、《說文聲類》、《今有錄》、《詩文集》等。嘉慶三年（1798），巴樹谷將汪萊幾年內所撰的“弧三角形”、“勾股形”書稿各一卷合刻，題名《衡齋算學》。咸豐四年（1854），夏燮訪得《衡齋遺書》稿本，連同《衡齋算學》刊成《衡齋算學遺書》合刻本。

夏鑾見他后，與語終日，臨別，目送之，嘆為“天下奇才”。

夏炘曾記述汪萊的風貌和為人，說他“長身玉立，鬚眉秀髮”，說他“性喜飲，酒酣耳熱，平生硊磊不平之氣，往往慷慨悲歌，聲音激越”。

“孝嬰之學，深妙入微”。

人所言，不復言，所言皆人所未言，與人所不能言。故其著述無多卷，而簡奧似周秦古書。又稱萊於《六經》，務在熟習本文，博通註疏，原始要終，以一知半解為陋。熟於許氏《說文》，工篆法，餘事亦為詩歌。性淵穆和易，與人接，無涯岸。有以所著撰相質，必首尾研究再三，否者直乙之，是者為之疏通發明。——汪萊好友焦循