矩陣論

隨著科學技術的迅速發展，古典的線性代數知識已不能滿足現代科技的需要，矩陣的理論和方法業已成為現代科技領域必不可少的工具。諸如數值分析、優化理論、微分方程、概率統計、控制論、力學、電子學、網路等學科領域都與矩陣理論有著密切的聯繫，甚至在經濟管理、金融、保險、社會科學等領域，矩陣理論和方法也有著十分重要的應用。當今電子計算機及計算技術的迅速發展為矩陣理論的應用開闢了更廣闊的前景。因此，學習和掌握矩陣的基本理論和方法，對於工科研究生來說是必不可少的。全國的工科院校已普遍把“矩陣論”作為研究生的必修課。為此，1989年我們根據國家教委制定的工科研究生學習“矩陣論”課程的基本要求編寫了這本教材，並於1993年和1999年由河海大學出版社正式出版，在部分高校講授過多年。為使本書適應新世紀的要求，這次又對本書進行了充實更新，並對內容作了精心的處理。

本書內容分上、下篇，共10章，比較全面、系統地介紹了矩陣的基本理論、方法及其應用。第1章與第2章重點介紹線性空間與線性運算元、內積空間與等積變換等，這部分內容既是線性代數知識的推廣和深化，又是矩陣幾何理論的基礎，熟練掌握和深刻理解它們對後面內容的學習乃至將來正確處理實際問題有很大的作用。第3章至第5章主要介紹λ矩陣與若爾當標準形、賦范線性空間與矩陣范數、矩陣的微積分運算及其應用。這些內容是矩陣理論研究、矩陣計算及應用中不可缺少的工具和手段。以上5章內容均為1991年國家教育委員會工科研究生數學課程教學指導小組對“矩陣論”課程所制定的基本要求，故本書把它們放入上篇，約為2~3學分（講授36~54學時）。考慮到矩陣理論的完整性、系統性，又能反映最新進展，同時為滿足某些專業多學時教學的需要，本書的下篇安排有：第6章介紹廣義逆矩陣及其應用；第7章介紹矩陣的因子分解；第8章介紹幾類特殊矩陣，諸如非負矩陣與正矩陣、素矩陣與循環矩陣、隨機矩陣和雙隨機矩陣、單調矩陣、M矩陣與H矩陣、T矩陣與漢克爾矩陣等；第9章介紹矩陣的克羅內克積、阿達馬積與反（Fan）積；第10章介紹辛空間與辛矩陣，這部分內容反映學科的前沿，有著廣闊的應用前景，這在同類教材中是獨有的。本書每章精選了一定數量的習題。考慮到矩陣論課程的理論性強，概念比較抽象，且有獨特的思維方式和解題技巧，有些讀者在做這些習題時可能會感到比較困難，為使這部分讀者更好地掌握這門課程的教學內容，我們特意提供一張光碟，其中包含本書各章習題詳解和模擬考試自測試題解答等，供讀者選用。目錄中帶*號的內容可用於選學或自學。

本書引入新概念時，既重視幾何理論，又兼顧應用背景或具體應用；既有系統性，適合全面閱讀（多學時），又具有可分性，便於選讀（少學時）；既注重取材得當（涵蓋多種特殊矩陣與特殊運演演算法則），又能夠面向前沿，反映最新進展（如辛空間、辛變換）。本書的編排由淺入深，閱讀本書只需具備高等數學和線性代數的基本知識。

作者誠摯地感謝王能超教授，他仔細審閱了全部書稿，並提出了不少有益的建議。參與本書第10章編寫工作的還有王如雲教授，同時要感謝馮康教授、汪道柳研究員對第10章編寫工作的指導和幫助。本書可作為理工科大學各專業研究生的學位課程教材，也可作為理工科和師範類院校高年級本科生的選修課教材，並可供有關專業的教師和工程技術人員參考。

由於編著者水平有限，書中如有不妥乃至謬誤之處，祈望讀者批評指正。

編著者

前言Ⅰ

上篇

第1章線性空間上的線性運算元3

1.1線性空間3

1.1.1線性空間的定義及基本性質3

1.1.2基、維數與坐標8

*1.1.3線性子空間15

習題1.121

1.2線性運算元及其矩陣24

1.2.1線性空間上的線性運算元24

1.2.2同構運算元與線性空間同構27

1.2.3線性運算元的矩陣表示29

1.2.4線性運算元的運算31

1.2.5線性變換與方陣34

1.2.6線性變換的特徵值問題42

*1.2.7線性變換的不變子空間54

習題1.256

第2章內積空間上的等積變換62

2.1內積空間62

2.1.1內積與歐幾里得空間63

2.1.2酉空間介紹73

習題2.174

2.2等積變換及其矩陣77

2.2.1正交變換與正交矩陣78

2.2.2兩類常用的正交變換及其矩陣85

*2.2.3酉變換與酉矩陣介紹95

*2.2.4正交投影變換與正交投影矩陣96

習題2.2101

*2.3埃爾米特變換及其矩陣103

2.3.1對稱變換與埃爾米特變換103

2.3.2埃爾米特正定、半正定矩陣106

2.3.3矩陣不等式109

2.3.4埃爾米特矩陣特徵值的性質111

2.3.5一般的復正定矩陣114

2.3.6正規矩陣115

習題2.3117

第3章λ矩陣與若爾當標準形119

3.1λ矩陣119

3.1.1λ矩陣的概念119

3.1.2λ矩陣在相抵下的標準形122

3.1.3不變因子與初等因子124

3.2若爾當標準形136

3.2.1數字矩陣化為相似的若爾當標準形136

3.2.2若爾當標準形的應用147

3.3凱萊哈密頓定理與最小多項式149

習題3155

第4章賦范線性空間與矩陣范數158

4.1賦范線性空間158

4.1.1向量的范數158

4.1.2向量范數的性質165

習題4.1167

4.2矩陣的范數168

4.2.1矩陣范數的定義與性質168

4.2.2運算元范數170

4.2.3譜范數的性質和譜半徑176

習題4.2179

4.3攝動分析與矩陣的條件數180

4.3.1病態方程組與病態矩陣181

4.3.2矩陣的條件數181

*4.3.3矩陣特徵值的攝動分析185

習題4.3189

第5章矩陣分析及其應用192

5.1向量序列和矩陣序列的極限192

5.1.1向量序列的極限192

5.1.2矩陣序列的極限194

5.2矩陣級數與矩陣函數198

5.2.1矩陣級數198

5.2.2矩陣函數206

5.3函數矩陣的微分和積分216

5.3.1函數矩陣對實變數的導數217

5.3.2函數矩陣特殊的導數221

5.3.3矩陣的全微分226

5.3.4函數矩陣的積分228

*5.4矩陣微分方程229

5.4.1常係數齊次線性微分方程組的解229

5.4.2常係數非齊次線性微分方程組的解236

5.4.3n階常係數微分方程的解239

習題5244

下篇

第6章廣義逆矩陣及其應用251

6.1矩陣的幾種廣義逆251

6.1.1廣義逆矩陣的基本概念251

6.1.2減號逆A-252

6.1.3自反減號逆A-r256

6.1.4最小范數廣義逆A-m262

6.1.5最小二乘廣義逆A-l265

6.1.6加號逆A+267

6.2廣義逆在解線性方程組中的應用273

6.2.1線性方程組求解問題的提法274

6.2.2相容方程組的通解與A-274

6.2.3相容方程組的極小范數解與A-m277

6.2.4矛盾方程組的最小二乘解與A-l281

6.2.5線性方程組的極小最小二乘解與A+286

習題6288

第7章矩陣分解291

7.1矩陣的三角分解291

7.1.1消元過程的矩陣描述291

7.1.2矩陣的三角分解295

7.1.3常用的三角分解公式300

7.2矩陣的QR（正交三角）分解306

7.2.1QR分解的概念306

7.2.2QR分解的實際求法309

7.3矩陣的最大秩分解316

7.4奇異值分解與譜分解320

7.4.1矩陣的奇異值分解320

7.4.2單純矩陣的譜分解324

習題7326

第8章幾類特殊矩陣330

8.1非負矩陣330

8.1.1非負矩陣與正矩陣330

8.1.2不可約非負矩陣336

8.1.3素矩陣與循環矩陣342

8.2隨機矩陣與雙隨機矩陣343

8.3單調矩陣346

8.4M矩陣與H矩陣348

8.4.1M矩陣348

8.4.2H矩陣353

8.5T矩陣與漢克爾矩陣354

習題8357

第9章矩陣的特殊積及其應用358

9.1克羅內克積358

9.1.1克羅內克積的概念358

9.1.2克羅內克積的性質359

9.2阿達馬積364

9.3反積及非負矩陣的阿達馬積366

9.4克羅內克積應用舉例366

9.4.1矩陣的拉直367

9.4.2線性矩陣方程的解368

習題9370

第10章辛空間與辛變換簡介371

10.1反對稱雙線性函數與辛空間372

10.1.1反對稱雙線性函數372

10.1.2線性函數的外積372

10.1.3辛空間的定義373

10.2子空間的反對稱正交補374

10.2.1反對稱正交補374

10.2.2幾種特殊的子空間378

10.2.3辛空間的性質379

10.2.4辛基379

10.3辛變換與辛矩陣380

10.3.1辛變換及其矩陣380

10.3.2辛變換的特徵值383

10.4辛對合385

習題10390

附錄模擬考試自測試題（共十套）391

參考書目403