泊松過程

一種累計隨機事件發生次數的最基本的獨立增量過程。例如隨著時間增長累計某電話交換台收到的呼喚次數，就構成一個泊松過程。用數學語言說，滿足下列三條件的隨機過程叫做泊松過程。①。②不相交區間上增量相互獨立，即對一切相互獨立。③增量的概率分佈為泊松分佈,即，式中為非降非負函數。若X還滿足④的分佈僅依賴於t-s，則稱X為齊次泊松過程；這時，式中常數稱為過程的強度，因為λ等於單位時間內事件的平均發生次數。非齊次泊松過程可通過時間尺度的變換變為齊次泊松過程。對泊松過程，通常可取它的每個樣本函數都是躍度為1的左(或右)連續階梯函數。可以證明，樣本函數具有這一性質的、隨機連續的獨立增量過程必是泊松過程，因而泊松過程是描寫隨機事件累計發生次數的基本數學模型之一。直觀上，只要隨機事件在不相交時間區間是獨立發生的，而且在充分小的區間上最多只發生一次，它們的累計次數就是一個泊松過程。在應用中很多場合都近似地滿足這些條件。例如某系統在時段內產生故障的次數，一真空管在加熱t秒后陰極發射的電子總數，都可假定為泊松過程。1943年C.帕爾姆在電話業務問題的研究中運用了這一過程，後來Α.Я.辛欽於50年代在服務系統的研究中又進一步發展了它。

齊次泊松過程的特徵 描述隨機事件累計發生次數的過程通常稱為計數過程（見點過程）。一個簡單而且局部有限的計數過程，往往也可以用它依次發生跳躍(即發生隨機事件)的時刻來規定，即取而當時，。若以，表示X(t)發生相鄰兩次跳躍的時間間距，則計數過程是齊次泊松過程的充分必要條件為是相互獨立同分佈的，且，其中λ為某一非負常數。齊次泊松過程的另一個特徵是：固定t,X(t)是參數為λt的泊松分佈隨機變數，而當已知的條件下,X的k個跳躍時刻與 k個在上均勻分佈且相互獨立的隨機變數的次序統計量（見統計量）有相同的分佈。泊松過程的這一特徵常作為構造多指標泊松過程的出發點。從馬爾可夫過程來看，齊次泊松過程是時間空間都為齊次的純生馬爾可夫鏈。從鞅來看，齊次泊松過程X是使為鞅的躍度為1的計數過程。

泊松過程的推廣 較泊松過程稍為廣泛的計數過程是更新過程，更新過程的跳躍時間間距是相互獨立同分佈的，但不一定是指數分佈。這類過程常被用來描寫某些設備的累計故障次數。若對跳躍時間間距不作任何假定，就成為一般的計數過程或稱一維點過程。假如某設備在時段內故障的累計次數N(t)是泊松過程，而每次故障造成的耗損不盡相同，用隨機變數Yi表示第i次耗損，則在內總的耗損為。當為齊次泊松過程，又是相互獨立同分佈且與獨立時,稱為複合泊松過程。由於可以用其跳躍時刻來規定,因而複合泊松過程可用來規定，即。若對的統計特性不作任何假定，這樣規定的X 便是一種一般地描述系統跳躍變化的隨機過程，常稱為標值點過程，也稱多變點過程或跳躍過程。

泊松過程除作為計數過程的一種重要數學模型外，又是眾多重要隨機過程的特例。獨立增量過程的萊維－伊藤分解表明，利用它還可構成一般的獨立增量過程，因而它在隨機過程中佔有特殊地位，也有人把它與布朗運動一起稱之為隨機過程的基石。

參考書目

E. Parzen,Stochastic Processes,Holden-Day,lnc., San Francisco, Calif., 1962.

D.L.斯奈德著，梁之舜、鄧永錄譯:《隨機點過程》，人民教育出版社，北京，1982。(D.L.Snyder,Random Point Processes,John Wiley & Sons,New York,1975.)

伊藤清著，劉璋溫譯：《隨機過程》，上海科學技術出版社，上海，1962。（伊藤清著：《確率？波書店，東京,1958。）