伽羅瓦理論

伽羅瓦理論是以伽羅瓦(Galois，E.)的名字命名的，用群論觀點研究代數方程求解的理論。它源於代數方程的根式解問題。早在公元前幾世紀，巴比倫人用配方法解二次方程之後，經歷兩千多年的漫長歲月，直到16世紀義大利數學家才給出三次方程的求根公式，即卡爾達諾(Cardano，G.)公式。其後，卡爾達諾的學生費拉里(Ferrari，L.)又得出四次方程的求解方法。於是，人們推斷五次方程也存在根式解。許多數學家都曾儘力尋求，如歐拉(Euler，L.)、拉格朗日(Lagrange，J.-L.)、魯菲尼(Ruffini，P.)等，但都告失敗。拉格朗日首先懷疑五次方程存在根式解。直到1826年，當時年僅24歲的挪威數學家阿貝爾(Abel，N.H.)才首先證明高於4次的一般代數方程不能用根式解，同時給出一類能用根式解的方程。這類方程現稱拉格朗日方程。但是，阿貝爾沒有給出一個法則來判別一個高於四次的具體代數方程能否有根式解。其後不久，伽羅瓦天才地建立了代數方程的伽羅瓦域的子域與它的伽羅瓦群的子群間的一一對應關係，證明了代數方程能用根式解的充分必要條件是其伽羅瓦群為可解群。從而徹底解決這一問題。

1828年，年僅17歲的伽羅瓦寫了“關於五次代數方程的解法問題”等兩篇論文，送法國科學院但不受重視，被柯西(Cauchy，A.-L.)遺失了。1831年，伽羅瓦又完成了“關於用根式解方程的可解性條件”，院士泊松(Poisson，S.-D.)的審查意見是“完全不能理解，予以退回”.不滿21歲的伽羅瓦在決鬥前夕將草稿寄給他的朋友，14年後，1846年，劉維爾(Liouville，J.)在他創辦的《純粹數學和應用數學》雜誌上首次發表了伽羅瓦的部分文章。第一個全面介紹伽羅瓦理論的是若爾當(Jordan，M.E.C.)，他是在1870年出版的《論置換群與代數方程》一書給出的。伽羅瓦應用置換群這一工具，不僅證明一般高於四次的代數方程不能用根式求解，而且還建立了具體數字代數方程可用根式解的判別準則。應用伽羅瓦理論很容易地否定回答所謂幾何三大難題。

伽羅瓦理論在1928年已由克魯爾(Krull，W.)推廣到無限可分正規擴域上。伽羅瓦理論不僅對近代代數學產生了深遠影響，也滲透到數學的其他許多分支。

經過兩個多世紀，一些著名的數學家，如歐拉、旺德蒙德、拉格朗日、魯菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的進展。19世紀上半葉，阿貝爾受高斯處理二項方程 (p為素數)的方法的啟示，研究五次以上代數方程的求解問題，終於證明了五次以上的方程不能用根式求解。他還發現一類能用根式求解的特殊方程。這類方程現在稱為阿貝爾方程。阿貝爾還試圖研究出能用根式求解的方程的特性，由於他的早逝而未能完成這項工作。

伽羅瓦從1828年開始研究代數方程理論(當時他並不了解阿貝爾的工作)，他試圖找出為了使一個方程存在根式解，其係數所應滿足的充分和必要條件。到1832年他完全解決了這個問題。在他臨死的前夜，他將結果寫在一封信中，留給他的一位朋友。1846年他的手稿才公開發表。伽羅瓦完全解決了高次方程的求解問題，他建立於用根式構造代數方程的根的一般原理，這個原理是用方程的根的某種置換群的結構來描述的，後人稱之為“伽羅瓦理論”。伽羅瓦理論的建立，不僅完成了由拉格朗日、魯菲尼、阿貝爾等人開始的研究，而且為開闢抽象代數學的道路建立了不朽的業績。

在幾乎整整一個世紀中，伽羅瓦的思想對代數學的發展起了決定性的影響。伽羅瓦理論被擴充並推廣到很多方向。戴德金曾把伽羅瓦的結果解釋為關於域的自同構群的對偶定理。隨著20世紀20年代拓撲代數系概念的形成，德國數學家克魯爾推廣了戴德金的思想，建立了無限代數擴張的伽羅瓦理論。伽羅瓦理論發展的另一條路線，也是由戴德金開創的，即建立非交換環的伽羅瓦理論。1940年前後，美國數學家雅各布森開始研究非交換環的伽羅瓦理論，並成功地建立了交換域的一般伽羅瓦理論。伽羅瓦理論還特別對尺規作圖問題給出完全的刻畫。人們已經證明：這種作圖問題可歸結為解有理數域上的某些代數方程。這樣一來，一個用直尺和圓規作圖的問題是否可解，就轉化為研究相應方程的伽羅瓦群的性質。

● ● 域的正規可分擴張定義為伽羅瓦擴張。

● ● 若K/F為伽羅瓦擴張，K上的F-自同構的集合構成一個群，定義為伽羅瓦群，記為Gal(K/F)。

● ● 對於H是Gal(K/F)的子群，稱K中在H中任意元素作用下不動元的集合為H的不動域，這是一個中間域。

● ● 對於伽羅瓦擴張，擴張的中間域和伽羅瓦群的子群有一一對應的關係。

● ● F⊂E⊂K形式的伽羅瓦擴張，E/F是正規擴張當且僅當Gal(K/E)是Gal(K/F)的正規子群。

● ● 在特徵為0的域上，多項式的根可用根式解當且僅當其分裂域擴張的伽羅瓦群是可解群。廣義上的伽羅瓦理論還包括尺規作圖，諾特方程，循環擴張，庫默爾理論等內容。