矩陣論

矩陣論

內容簡介

本書比較全面地介紹了矩陣理論的基礎知識。全書共分九章，分別介紹了線性空間與內積空間、線性變換與Jordan標準形，范數理論與矩陣級數，矩陣函數和函數矩陣，矩陣分解，一些特殊矩陣，非負矩陣與M-矩陣理論，Kronecher積與矩陣方程和最小二乘問題。附錄里簡述了一元多項式的有關概念和性質。每一章配備了習題，以使讀者學習的鞏固。

本書可作為理工科以及財經類院校的研究生和高年級本科生（基於學過《線性代數》課程）的學習教材，也可作為有關專業教師和工程技術人員的參考書。

目錄

前言1

第一章線性空間與內積空間1

§1.1集合與映射1一、集合1二、映射2

§1.2線性空間及其基與維數4一、線性空間的定義4二、基、維數與坐標6三、基變換與坐標變換8

§1.3線性子空間11一、線性子空間11二、子空間的交與和12三、直和14

§1.4*線性空間的同構17

§1.5內積空間18一、歐氏空間18

二、標準正交基與GramSchmidt正交化過程22

三、子空間25四*、同構27五、酉空間28

習題一29

第二章線性變換和矩陣的Jordan標準形33

§2.1線性變換與線性變換的矩陣33一、線性變換33

二、線性變換的矩陣35三、線性變換在不同基下的矩陣39

四、正交變換40

§2.2特徵值與特徵向量41一、基本概念41

二、矩陣對角化的相似條件43

三、HamiltonCaylay定理44

§2.3不變子空間與Jordan標準形45

一、值域與核45二、不變子空間48

三、Jordan標準形51§2.4對稱矩陣的相似對角化52

§2.5λ矩陣54一、基本概念54二、標準形55

三、不變因子57四、初等因子59§2.6Jordan標準形的理論推導60

一、矩陣的相似性條件60二、Jordan標準形64三、最小多項式68習題二70

第三章范數與極限74§3.1范數74

一、向量范數74二、矩陣范數76三、賦范線性空間81

§3.2矩陣序列與矩陣級數82一、矩陣序列與收斂性82二、矩陣級數84習題三88

第四章矩陣函數與函數矩陣90§4.1矩陣函數90

一、矩陣多項式90二、矩陣函數的解析定義94

三、矩陣函數的一般定義96§4.2函數矩陣及其導數101

一、函數矩陣101二、函數矩陣的導數103

三、函數矩陣的二階導數與Hessian矩陣110習題四111

第五章矩陣分解114§5.1約化矩陣114

一、Gauss矩陣114二、Householder矩陣115

三、Givens矩陣116§5.2三角分解117

一、LU分解117二、平方根分解121

§5.3QR分解122§5.4Schur分解125

§5.5奇異值分解127§5.6其他分解130習題五132

第六章一些特殊矩陣134

§6.1正規矩陣134

§6.2Hermite矩陣135

一、Hermite矩陣136

二、Hermite矩陣的特徵值極性137

§6.3Hermite正定矩陣141

§6.4不可約矩陣和對角佔優矩陣143

一、不可約矩陣143二、對角佔優矩陣144

§6.5投影矩陣147習題六151

第七章非負矩陣153

§7.1非負矩陣及其譜半徑性質153

§7.2Perron定理和Frobenius定理155

§7.3隨機矩陣與單調矩陣159

一、隨機矩陣159二、單調矩陣161

§7.4M矩陣161習題七166

第八章Kronecker積與矩陣方程167

§8.1Kronecker積167

一、矩陣Kronecker積的定義和基本性質167

二、矩陣Kronecker積的特徵值168

三、矩陣Kronecker積的秩170

四、矩陣Kronecker積的冪171

§8.2矩陣方程171

一、矩陣的向量化171

二、線性矩陣方程172

§8.3矩陣方程AX+XB=C173

一、Sylvester方程174二、Sylvester方程解的形式174

三、Lyapunov方程簡介176

§8.4*求解矩陣方程的數值解法176

一、中小規模Sylvester方程的數值解法176

二、Sylvester方程係數矩陣A為大規模矩陣，B為小矩陣177

三、Sylvester方程係數矩陣A，B均為大規模矩陣179習題八180

第九章最小二乘問題182

§9.1最小二乘問題的基本性質182

一、最小二乘問題的基本概念182

二、最小二乘問題的數學性質182

§9.2滿秩矩陣的最小二乘問題184

一、法方程（Normalequation）184二、曲線擬合問題185

三、基於Cholesky分解求解的最小二乘解187

四、基於QR分解求解的最小二乘解187

五、奇異值分解方法191§9.3秩顯分解和秩虧最小二乘問題193

一、帶列選主元的QR分解193

二、數值秩顯分解195三、秩虧最小二乘問題195

§9.4廣義逆矩陣195一、廣義逆矩陣195

二、廣義逆的應用198習題九199

附錄一元多項式202一、一元多項式及其基本運算202

二、整除203三、最大公因式204四、多項式函數206

參考文獻208