戴德金整環

整環R稱為戴德金整環。若滿足以下三個條件：

1.R是諾特環.

2.R在其商域中整閉.

3.(其中dim表示克魯爾維數)，也即R不是域且非零素理想均為極大理想.

在戴德金整環R中每個准素理想均為素理想的冪，從而每個非零理想均可惟一(不計因子次序)地表示為有限個素理想的積。由庫默爾(Kummer，E.E.)開創，戴德金(Dedekind，(J.W.)R.)所建立起來的戴德金整環的理論已十分完整，但有些重要的諾特環，例如，域F和整數環Z上多項式環F均非戴德金整環。

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何，都有，，則稱F為上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則是上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

非退化為{0}且沒有0因子的交換環稱為整環。

環Z是整環。設n為非零自然數；為使環為整環，必須且只須n是素數。任一交換體是整環對任一整環A，係數取自A中含一個未定元的全體多項式之環A[X]，係數取自A中的全體形式級數之環A[[X]]都是整環。由此推知，係數取自交換體K中含p個未定元的全體多項式之環及含p個未定元的全體形式級數之環都是整環。

設R是一個有單位元的交換環，如果R的每個理想鏈都存在整數n，使得對任何，，則稱R是一個諾特環。設R是一個交換環，R的理想Q稱為準素理想，如果，對任意的a，，若，，則必存在正整數n，使得。設I是交換環R的理想，I的根(或稱冪零根)是包含I的所有素理想之交，記作或radI。准素理想的根是一個素理想，這個素理想稱為與Q結合的素理想，或Q是屬於這個素理想的准素理想。交換環R中的理想I稱為有準素分解，如果，其中，都是准素理想。如果每個都不包含，而且Q的根互不相同，則稱這樣的准素分解是既約的。一個有單位元的交換環R是諾特環當且僅當R的每個理想是有限生成的，當且僅當R滿足理想的極大條件：對R的任一個理想的非空族，其中必存在極大元I，即若，，則。含幺交換環是諾特環當且僅當每個素理想是有限生成的。諾特環R的每個理想I，，有準素分解，而且若是兩個既約准素分解，其中是屬於的准素理想，是屬於的准素理想，則，而且適當重排順序后，。環R的非空子集S稱為R的一個乘閉子集，如果對任何a，。設S是交換環R的一個乘閉子集，在集合上定義一個關係～：如果存在使得，這個關係是一個等價關係，所在等價類記作，的全體等價類做成的集合記作SR，在SR中定義則SR做成一個有單位元的交換環。SR稱為R對於S的分式環。一個有單位元的交換環稱為局部環，如果它只有一個極大理想。設R是有單位元的交換環，P是R的素理想，令，則S是R的乘閉子集，分式環SR是一個局部環，稱為R在P處的局部化，記作R。設S是諾特環R的乘閉子集，則SR也是諾特環。設R是—個諾特環，是R上文字的多項式全體做成的環，則也是諾特環，這個結論稱為希爾伯特基定理。設R是一個諾特環，是R上文字x的形式冪級數全體做成的環，則R[[x]]也是諾特環。

德國數學家。生於不倫瑞克，卒於同地。早年在格丁根大學求學，是高斯的得意門生。1852年獲博士學位。1854年留校任教，與狄利克雷和黎曼結為好友。1858—1862年應邀任瑞士蘇黎世綜合工科學校教授。1862年返回家鄉，在不倫瑞克綜合工科學校執教，直至逝世。戴德金是格丁根、柏林、巴黎、羅馬等科學院的成員，還被歐洲幾所大學授予榮譽博士稱號。其主要貢獻在實數理論和代數數論方面。他注意到當時的微積分學實際上還缺乏嚴密的邏輯基礎，對無理數還沒有嚴密的分析和論證，因而提出用所謂“戴德金分割”來定義無理數，並對連續性理論進行深入研究，為實數理論的建立做出了不可磨滅的貢獻。1872年，他的《連續性與無理數》出版，使他與G.康托爾、外爾斯特拉斯等人成為現代實數理論的奠基人。在代數數論方面，他建立了現代代數數和代數數域的理論。他的代數數理論是高斯的復整數和庫默爾代數數的一般化，後來他又用另一種方法重建代數數中的唯一因子分解定理。他深入研究各種代數結構，特別引入環的概念，給出理想子環的一般定義，後來把滿足理想唯一分解條件的整環稱作戴德金環。他在代數數論方面的工作對19世紀數學產生了深遠影響。他的著作還有《數的意義》(1888)等。他還編輯出版了狄利克雷和黎曼的全集。