判斷素數

上下素性判定法

首先，本文英文字母都表示整數，上半部B》3N》W，下半部B》W》3N。大於3的素數只有6N-1和6N+1兩種形式，我們只需判定這兩種數是素數還是合數即可。

命題1對於B=36N+1形數而言。

若不定方程（3N）^2+N-（B-1）/36=W^2有整數解，

則6（3N-W）+1是小因子數；6（3N+W）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題2對於B=36N+7形數而言。

若不定方程（3N+2）^2+2N+2-（B+29）/36=W^2+W有整數解，

則6（3N+2-W）-1是小因子數，6（3N+W+3）-1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題3對於B=36N+13形數而言。

若不定方程（3N+2）^2-N-（B+23）/36=W2有整數解，

則6（3N+2-W）-1是小因子數，6（3N+2+W）-1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題4對於B=36N+19形數而言。

若不定方程（3N+1）^2+4N+1-（B-19）/36=W^2+W有整數解，

則6（3N+1-W）+1是小因子數；6（3N+2+W）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題5對於B=36N+25形數而言。

若不定方（3N+2）^2+N-（B-25）/36=W^2有整數解，

則6（3N+2-W）+1是小因子數，6（3N+2+W）+1是大因子數。

若不定方程（3N+1）^2-N-（B+11）/36=W^2有整數解，

則6（3N+1-W）-1是小因子數，6（3N+1+W）-1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題6對於B=36N+31形數而言。

若不定方程（3N+2）^2+4N+2-（B-31）/36=W^2+W有整數解，

則6（3N+2-W）+1是小因子數，6（3N+3+W）+1是大因子數。

若不定方程（3N+1）^2-4N-1-（B+5）/36=W^2+W有整數解，

則6（3N-W）-1是小因子數，6（3N+1+W）-1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題7對於B=36N-1形數而言。

若不定方程（3N）^2-N+（B-1）/36=W^2有整數解，

則6（3N-W）+1是小因子數；6（3N+W）-1是大因子數。

若不定方程（3N）^2+N+（B-1）/36=W^2有整數解，

則6（W-3N）-1是小因子數；6（W+3N）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題8對於B=36N+5形數而言。

若不定方（3N）^2+2N+（B-5）/36=W^2+W有整數解，

則6（W-3N）+1是小因子數，6（W+3N+1）-1是大因子數。

若不定方程（3N+2）^2+4N+2+（B+31）/36=W^2+W有整數解，

則6（W-3N-2）-1是小因子數，6（W+3N+3）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題9對於B=36N+11形數而言。

若不定方程（3N+1）^2-N+（B-11）/36=W^2有整數解，

則6（W-3N-1）+1是小因子數，6（W+3N+1）-1是大因子數。

若不定方程（3N+2）^2+N+(B+25）/36=W2有整數解，

則6(W-3N-2）-1是小因子數，6（W+3N+2）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題10對於B=36N+17形數而言。

若不定方程（3N+1）^2+2N+1+（B-17）/36=W^2+W有整數解，

則6（W-3N-1）+1是小因子數；6（W+3N+2）-1是大因子數。

若不定方程（3N+1）^2+4N+1+（B+19）/36=W^2+W有整數解，

則6（W-3N-1）-1是小因子數；6（W+3N+2）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題11對於B=36N+23形數而言。

若不定方（3N+2）^2-N+（B-23）/36=W^2有整數解，

則6（W-3N-2）+1是小因子數，6（W+3N+2）+1是大因子數。

若不定方程（3N+1）^2+N+（B+13）/36=W^2有整數解，

則6（W-3N-1）-1是小因子數，6（W+3N+1）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題12對於B=36N+31形數而言。

若不定方程（3N+2）^2+2N+2+（B-29）/36=W^2+W有整數解，

則6（W-3N-2）+1是小因子數，6（W+3N+3）-1是大因子數。

若不定方程（3N）^2-4N+（B+7）/36=W^2+W有整數解，

則6（W-3N）-1是小因子數，6（W+3N+1）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

素數定理描述素數的大致分佈情況。

素數定理可以給出第n個素數p(n)的漸近估計：它也給出從整數中抽到素數的概率。從不大於n的自然數隨機選一個，它是素數的概率大約是1/lnn。這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家哈達瑪(JacquesHadamard)和比利時數學家普森(CharlesJeandelaVallée-Poussin)先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼函數。

對正實數x，定義π(x)為素數計數函數，亦即不大於x的素數個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。

其中lnx為x的自然對數。上式的意思是當''x''趨近∞，π(x)與x/lnx的比值趨近1。但這不表示它們的數值隨著x增大而接近。

下面是對π(x)更好的估計：

,其中.而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。下表比較了π(x)，x/lnx和Li(x)

因為黎曼ζ函數與π(x)關係密切，關於黎曼ζ函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素數定理誤差的估計。1901年瑞典數學家HelgevonKoch證明出，下式與黎曼猜想等價:

至於大O項的常數則還未知道。

在1948年，塞爾伯格和保羅·埃爾德什首次給出素數定理的初等證明.

素數定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥（“愛爾多斯”，或“愛爾多希”）和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。在此之前一些數學家不相信能找出不需藉助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素數定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題，必須引進複數來解決。這是憑感覺說出來的，覺得一些方法比別的更高等也更厲害，而素數定理的初等證明動搖了這論調。Selberg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數學，威力也可以很大。但是，有必要指出的是，雖然該初等證明只用到初等的辦法，其難度甚至要比用到複分析的證明遠為困難。

質數又稱素數。指在一個大於1的自然數中，除了1和此整數自身外，不能被其他自然數整除的數。質數是與合數相對立的兩個概念，二者構成了數論當中最基礎的定義之一。基於質數定義的基礎之上而建立的問題有很多世界級的難題，如哥德巴赫猜想等。截至2012年6月底，質數尚未完全找到通項公式。

質數的個數是無窮的。最經典的證明由歐幾里得證得，在他的《幾何原本》中就有記載。它使用了證明常用的方法：反證法。具體的證明如下：

●假設質數只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設N=p1×p2×……×pn，那麼，N+1是素數或者不是素數。

●如果N+1為素數，則N+1要大於p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的素數集合中。

●如果N+1為合數，因為任何一個合數都可以分解為幾個素數的積；而N和N+1的最大公約數是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。

●因此無論該數是素數還是合數，都意味著在假設的有限個素數之外還存在著其他素數。

●對任何有限個素數的集合來說，用上述的方法永遠可以得到有一個素數不在假設的素數集合中的結論。

●所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。

其他數學家也給出了他們自己的證明。歐拉利用黎曼函數證明了全部素數的倒數之和是發散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，HillelFurstenberg則用拓撲學加以了證明。

儘管整個素數是無窮的，仍然有人會問“100000以下有多少個素數?”，“一個隨機的100位數多大可能是素數?”。素數定理可以回答此問題。

檢查一個正整數N是否為素數，最簡單的方法就是試除法，將該數N用小於等於根號N的所有素數去試除，若均無法整除，N則為素數，參見素數判定法則。

2002年，印度人M.Agrawal、N.Kayal以及N.Saxena提出了AKS質數測試演演算法，證明了可以在多項式時間內檢驗是否為素數。

1000以內

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

101 103 107 109 113 127 131 137 139 149

151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199

211 223 227 229 233 239 241

251 257 263 269 271 277 281 283 293

307 311 313 317 331 337 347 349

353 359 367 373 379 383 389 397

401 409 419 421 431 433 439 443 449

457 461 463 467 479 487 491 499

503 509 521 523 541 547

557 563 569 571 577 587 593 599

601 607 613 617 619 631 641 643 647

653 659 661 673 677 683 691

701 709 719 727 733 739 743

751 757 761 769 773 787 797

809 811 821 823 827 829 839

853 857 859 863 877 881 883 887

907 911 919 929 937 941 947

953 967 971 977 983 991 997(168個)

1000~10000

1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061

1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123

1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213

1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283

1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361

1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439

1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493

1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571

1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627

1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721

1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789

1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877

1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973

1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029

2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111

2113 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203

2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273

2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347

2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411

2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503

2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593

2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677

2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729

2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801

2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887

2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969

2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061

3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167

3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251

3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323

3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391

3407 3413 3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491

3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557

3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631

3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709

3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797

3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881

3889 3907 3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947

3967 3989 4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049

4051 4057 4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129

4133 4139 4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219

4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283

4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391

4397 4409 4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481

4483 4493 4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561

4567 4583 4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649

4651 4657 4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729

4733 4751 4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813

4817 4831 4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931

4933 4937 4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993

4999 5003 5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077

5081 5087 5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167

5171 5179 5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261

5273 5279 5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351

5381 5387 5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437

5441 5443 5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507

5519 5521 5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591

5623 5639 5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683

5689 5693 5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779

5783 5791 5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849

5851 5857 5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923

5927 5939 5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043

6047 6053 6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121

6131 6133 6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211

6217 6221 6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287

6299 6301 6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359

6361 6367 6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451

6469 6473 6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563

6569 6571 6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659

6661 6673 6679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733

6737 6761 6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827

6829 6833 6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907

6911 6917 6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983

6991 6997 7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069

7079 7103 7109 7121 7127 7129 7151 7159 7177 7187

7193 7207 7211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253

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7489 7499 7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549

7559 7561 7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621

7639 7643 7649 7669 7673 7681 7687 7691 7699 7703

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