數學分析

《數學分析》是針對有初等微積分基礎的大學一年級和二年級的學生編寫的，既可以作為教科書使用，也可以作為研究生入學考試和高等數學競賽的培訓教材。除此之外，此書對廣大數學愛好者來說，也是一本實用性很強的參考書。全書共六章，主要內容包括實數理論、數列與無窮級數、連續性、黎曼與斯蒂爾切斯積分、一致連續性和廣義積分。書中每一章均配有大量的例題和有一定難度的習題。目前市面上有各種版本的數學分析教材，且數學分析的內容基本成型，因而編寫一本具有特色的教材並非易事。首先遇到的問題是材料的取捨和內容的編排。《數學分析》的讀者具備初等微積分的基礎，使得編書時合理選材更加重要。我們從實數理論入手，選取重要的且能培養和提高讀者邏輯推理能力的結構和定理作為《數學分析》的重要內容。例如數列與級數，一致收斂性和廣義積分等，盡量做到所選內容是數學分析的核心問題，避免出現後繼課程將要討論的課題。與一般數學分析教材不同的是，《數學分析》可作為研究生入學考試的輔導教材和大學生高等數學競賽的培訓教材，對一般數學分析教材中的內容作了推廣和加深，並精選了部分富有啟發性的例題和有一定難度的習題供讀者練習。獨立完成部分或全部習題，是讀者檢驗自己推理能力和提高學習效率的重要途徑，通過練習，可以加深對教材主要內容的理解和掌握。

第一章　實數系

1.1　整數

1.2　有理數系

1.3　有理數數列

1.4　實數系

1.5　無限小數方法簡介

1.6　戴德金分划簡介

1.7　確界原理與實指數的乘冪

1.8　實數的完備性和緊性

1.9　實數的擴張——複數

練習

第二章　數列與級數

2.1　數列的極限

2.2　斯鐸茲定理及應用

2.3　上、下極限

2.4　實數級數

2.5　無窮乘積

2.6　典型例子

練習二

第三章　連續性

3.1　函數的極限和連續

3.2　拓撲學初步

3.3　連續函數的性質

3.4　間斷點

3.5　半連續和有界變差函數

3.6　p進位

練習三

第四章　微分與積分

4.1　微分與中值定理

4.2　洛必達法則與泰勒公式

4.3　典型例題選講

4.4　黎曼一斯蒂爾切斯積分

4.5　不等式

4.6　凸函數

4.7　數e和7c

4.8　多元函數

練習四

第五章　一致收斂性

5.1　函數序列的一致收斂性

5.2　收斂序列的性質

5.3　函數項級數及收斂性

5.4　多項式逼近

5.5　冪級數

5.6　傅里葉級數

5.7　等度連續性

練習五

第六章　廣義積分

6.1　無限區間上的積分

6.2　收斂性判別準則

6.3　瑕積分

6.4　廣義積分與級數

6.5　有限區間上含參量積分

6.6　含參變數的廣義積分

6.7　一致收斂積分的性質

6.8　歐拉積分

練習六

參考書目