初等數論

古希臘

古希臘畢達哥拉斯是初等數論的先驅。他與他的學派致力於一些特殊整數（如親和數、完全數、多邊形數）及特殊不定方程的研究。公元前4世紀，歐幾里德的《幾何原本》通過102個命題，初步建立了整數的整除理論。他關於“素數有無窮多個”的證明，被認為是數學證明的典範。

初等數論已經有2000年的歷史，公元前300年，歐幾里得發現了素數是數論的基石，他自己證明了有無窮多個素數。公元前250年古希臘數學家埃拉托塞尼發明了一種篩法。2000年來，數論學的一個最重要的任務，就是尋找一個可以表示所有素數的統一公式，或者稱為素數普遍公式，為此，人類耗費了巨大的心血。後來發現埃拉托塞尼篩法可以轉換成為一個素數產生的公式：

公元前250年同樣是古希臘的數學家埃拉托塞尼提出一種篩法：

（一）“要得到不大於某個自然數n（不等於0）的所有素數，只要在2至n中將不大於的素數的倍數全部劃去即可”。

（二）將上面的內容等價轉換：“如果n是合數（非0自然數），則它有一個因子d滿足

”。

（三）再從（二）得到等價的逆否命題：“若自然數n不能被不大於的任何素數整除，則n是一個素數”。

（四）上述的（三）可以用符號如此表達：

其中

順序地表示素數2，3，5，...。對以上的數（即為N被相除所得之餘數），有（餘數不為0）。

即N不能是2m，3m，5m，...，pm形。若是，則N是一個素數。

（五）可以把上述的式（1）用同餘式組表示：

例如，29不能夠被以下的任何素數,如2，3，5整除，。

，所以29是一個素數。

由於（2）的模

兩兩互素，根據孫子定理（中國剩餘定理）知，（2）式在的意義上有唯一解。

例如k=1時，解得。求得了（3，3）區間的全部素數。

例如：當k=2時，，解得；，解得。如此，求得了（5，5 ）區間的全部素數。

仿此下去可以求得任意給定數以內的全部素數。

(六)用程序方法求素數。“若一個自然數n，判斷n/k是否整除，先判斷其能否整除2，若不能再判斷其能否整除3，依次向下判斷，當時，判斷結束。”如果所有判斷都不能整除，則自然數N為素數。

公元3世紀，丟番圖研究了若干不定方程，並分別設計巧妙解法，故後人稱不定方程為丟番圖方程。17世紀以來，費馬、歐拉、高斯等人的工作大大豐富和發展了初等數論的內容。

古代中國

中國古代對初等數論的研究有著光輝的成就，《周髀算經》、《孫子算經》、《張邱建算經》、《數書九章》等古文獻上都有記載。孫子定理比歐洲早500年，西方常稱此定理為中國剩餘定理，秦九韶的大衍求一術也馳名世界。初等數論不僅是研究純數學的基礎，也是許多學科的重要工具。它的應用是多方面的，如計算機科學、組合數學、密碼學、資訊理論等。如公開密鑰體制的提出是數論在密碼學中的重要應用。

初等數論有以下幾部分內容：

1.整除理論。引入整除、因數、倍數、質數與合數等基本概念。這一理論的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、歐幾里德的輾轉相除法、算術基本定理、素數個數無限證明。

2.同餘理論。主要出自於高斯的《算術研究》內容。定義了同餘、原根、指數、平方剩餘、同餘方程等概念。主要成果：二次互反律、歐拉定理、費馬小定理、威爾遜定理、孫子定理（即中國剩餘定理）等等。

3.連分數理論。引入了連分數概念和演演算法等等。特別是研究了整數平方根的連分數展開。主要成果：循環連分數展開、最佳逼近問題、佩爾方程求解。

4.不定方程。主要研究了低次代數曲線對應的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩爾方程的連分數求解。也包括了四次費馬方程的求解問題等等。

5.數論函數。比如歐拉函數、莫比烏斯變換等等。

6.高斯函數。

初等數論是一個理論層次

第一個層次叫做數學概念，是反映對象的本質屬性的思維形式。人類在認識過程中，從感性認識上升到理性認識，把所感知的事物的共同本質特點抽象出來，加以概括，就成為概念。表達概念的語言形式是詞或片語。科學概念，特別是數學概念要求更加嚴格，至少必須具備三個條件：專一性，精確性，可以檢驗。例如：”孿生素數“就是一個數學概念。

第二個層次叫做數學命題，數學命題是對一系列數學概念之間的關係作出判斷的句子。一個命題要麼真，要麼不真（這由邏輯中的排中律保證）。真命題包含定理，引理，推論，事實等。命題既可以是存在性命題（表述為”存在......."），也可以是全稱命題（表述為“對於一切....."）。

第三個層次叫做數學理論，把方法，公式，公理，定理，原理，組合成為一個體系叫做數學理論。例如“初等數論”，由公理（例如等量公理），定理（例如費馬小定理），原理（例如抽屜原理，一一對應原理），公式等組成。

在數學證明時，全稱命題常常不能通過枚舉法來判斷真偽，這是因為數學有時面對的是無窮多個對象，永遠不可能一一枚舉出每一種情況。不完全歸納法在數學中是不可行的，數學只承認演繹邏輯（數學歸納法，超限歸納法等均屬於演繹邏輯）。

費馬

費馬在古典數論領域中的成果很多，比如提出了不定方程無解證明的無窮遞降法，引入了費馬數等等。

與費馬相關的著名結論如下：

費馬小定理：，其中p是一個素數，a是正整數。

事實上它是歐拉定理的一個特殊情況，Euler定理是說：,a，n都是正整數且互素，φ(n)是Euler函數，表示和n互素的小於n的正整數的個數。

費馬大定理（當時是猜想）：是整數，則方程沒有滿足的整數解。這個是不定方程，它已經由美國數學家安德魯·懷爾斯證明了(1995年)，證明的過程相當艱深。

歐拉

引入歐拉函數，得到著名的歐拉定理——費馬小定理推廣；研究了連分數展開問題；用解析方法證明了素數無限；討論平方和問題及哥德巴赫猜想——加性數論內容。

高斯

被譽為“數學王子”。解決了正多邊形尺規作圖問題，將它和費馬數聯繫起來。高斯的著作

《算術研究》提出了同餘理論，討論了平方剩餘問題，發現了二次互反律。高斯提出了著名的素數定理（當時是猜想），研究了指標和估計問題——表示論的雛形。

高等學校數學教材初等數論（第二版）定價：￥35.00

作者：潘承洞，潘承彪著

出 版 社：北京大學出版社

出版時間：2003-1-1

版次：2

頁數：592

字數：520000

印刷時間：2011-1-1

開本：大32開

紙張：膠版紙

印次：9

I S B N：9787301060759

包裝：平裝

內容簡介

本書自1992年9月出版以來，已發行24000冊，深受教師和學生的歡迎。在第二版中，本書作者根據10年來讀者和本書編輯提出的寶貴意見，以及在教學實踐中的體會，對本書內容做了進一步修改與完善（見第二版說明），使之更適宜於教學需要。

本書是大學初等數論課教材。全書共分九章。內容包括：整除，不定方程，同餘，同餘方程，指數與原根，連分數，素數分佈的初等結果，數論函數等。書中配有較多的習題，書末附有提示與解答。?書積累了作者數十年教學與科研的經驗，遵循少而精的原則，精心選材。為便於學生理想，對重點內容多側面分析，從不同角度進行闡述。

作者簡介潘承洞，數學家，中科院院士。江蘇蘇州人。著作有《哥德巴赫猜想》（合著）、《階的估計》等。

目錄第二版說明

第一版序

符號說明

第一章整除

1自然數與整數

2整除

3帶餘數除法與輾轉相除法

4最大公約數理論

5算術基本定理（A）

6算術基本定理（B）

7符號[X]，n！的分解式

8容斥原理與的計算公式

第二章不定方程（I）

1一次不定方程

第三章同餘

1同餘

2同餘類與剩餘系

3（M）的性質與Fermat-Euler定理

4Wlison定理

第四章同餘方程

1同餘方程的基本概念

2一次同餘方程

3一次同餘方程組，孫子定理

4一般同餘方程的求解

5橫為素數的二次同餘方程

6Legendre符號,Gauss二次互反律

7Jacbi符號

8模為素數的高次同餘方程

9多元同餘方程,Chevalley定理

第五章指數與原根

1指數

2原根

3指標、指？組與既約剩餘系的構造

4二項同餘方程

第六章不定方程（II）

……

第七章連分數

第八章素數分佈的初等結果

第九章數論函數

附錄一自然數

附錄二算術基本定理不成立的例子

附錄三初等數論的幾個應用

附錄四國際數學奧林匹克競賽中數論有關的題

習題的提示與解答