幾何學

幾何這個詞最早來自於阿拉伯語，指土地的測量，即測地術。後來拉丁語音譯為“geometria”。中文中的“幾何”一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創。當時並未給出所依根據，後世多認為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語GEO的音譯，另一方面由於《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數論的內容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認為幾何是geometria的音、意並譯。

1607年出版的《幾何原本》中關於幾何的譯法在當時並未通行，同時代也存在著另一種譯名——形學，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學備旨》，在當時也有一定的影響。在1857年李善蘭、偉烈亞力續譯的《幾何原本》后9卷出版后，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀初的時候才有了較明顯的取代形學一詞的趨勢，如1910年《形學備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勛就將其改名為《續幾何》。直至20世紀中期，已鮮有“形學”一詞的使用出現。

由於人類生產和生活的需要，產生了幾何學。

在原始社會裡，人類在生產和生活中，積累了許多有關物體的形狀、大小和相互之間的位置關係的知識。例如，古代的人們認識他們的獵物的形狀、大小，記住它們的居住地與打獵地之間的距離，以及打獵地在居住地的那個方位。

隨著人類社會的不斷發展，人們對物體的形狀、大小和相互之間的位置關係的認識愈來愈豐富，逐漸地積累起較豐富的幾何學知識。

相傳四千年前，埃及的尼羅河每年洪水泛濫，總是把兩岸的土地淹沒，水退後，使土地的界線不分明。當時埃及的勞動人民為了重新測出被洪水淹沒的土地的地界，每年總要進行土地測量，因此，積累了許多測量土地方面的知識。從而產生了幾何學的初步知識。

後來，希臘人由於跟埃及人通商，從埃及學到了測量與繪畫等的幾何初步知識。希臘人在這些幾何初步知識的基礎上，逐步充實並提高成為一門完整的幾何學。“幾何學”這個詞，是來自希臘文，原來的意義是“測量土地技術”。“幾何學”這個詞一直沿用到今天。

公元前338年，希臘人歐幾里得，把在他以前的埃及和希臘人的幾何學知識加以系統的總結和整理，寫了一本書，書名叫做《幾何原本》。1607年，我國的數學家徐光啟和西方人利瑪竇合作，把歐幾里得的《幾何原本》第一次介紹到我國。歐幾里得的《幾何原本》是幾何學史上有深遠影響的一本書。現今我們學習的幾何學課本多是以《幾何原本》為依據編寫的。

我國對幾何學的研究也有悠久的歷史。在公元前一千年前，在我國的黑陶文化時期，陶器上的花紋就有菱形、正方形和圓內接正方形等許多幾何圖形。公元前五百年，在墨翟所著的《墨經》里有幾何圖形的一些知識。在《九章算術》里，記載了土地面積和物體體積的計算方法。在《周髀算經》里，記載了直角三角形的三邊之間的關係。這就是著名的“勾三股四弦五”的勾股定理，也稱為“商高定理”。商高發現了直角三角形的勾股定理。祖沖之的圓周率也是著稱世界的。還有我國古代數學家劉徽、王孝通等對幾何學都作出了重大的貢獻。

隨著工農業生產和科學技術的不斷發展，幾何學的知識也越來越豐富，研究的方面也越來越廣闊。

幾何一詞源於《幾何原本》的翻譯。《幾何原本》是世界數學史上影響最為久遠，最大的一部數學教科書。《幾何原本》傳入中國，首先應歸功於明末科學家徐光啟。徐光啟和利瑪竇《幾何原本》中譯本的一個偉大貢獻是確定了研究圖形的這一學科中文名稱為“幾何”，並確定了幾何學中一些基本術語的譯名。“幾何”的原文是“geometria”(英文geometry)，徐光啟和利瑪竇在翻譯時，取“geo”的音為“幾何”（明朝音: gi-ho），而“幾何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“幾何”譯“geometria”(英文geometry)，音義兼顧，確是神來之筆。幾何學中最基本的一些術語，如點、線、直線、平行線、角、三角形和四邊形等中文譯名，都是這個譯本定下來的。這些譯名一直流傳到今天，且東渡到漢字文化圈的日本、朝鮮等國（越南語則使用獨自翻譯的越制漢語“形學（hình học）”一詞），影響深遠。

幾何學開始的最早記錄可以追蹤到公元前2世紀的古代埃及和美索不達米亞。早期的幾何學是有關長度、角度、面積和體積的經驗性定律的收集，這些都是因為實際需要（比如勘探、建築、天文和一些手工業）而發展的。最早的已知有關幾何學的文本是埃及的萊因德紙草書（公元前2000-1800年）和莫斯科紙草書（英語：Moscow Mathematical Papyrus）（約公元前1890年）,以及古巴比倫的泥石板（比如“Plimpton 322（英語：Plimpton 322）”（公元前1900年）。比如，莫斯科紙草書上給出了如何計算稜台體積的公式。埃及南部的古代努比亞人曾經建立了一套幾何學系統，包括有太陽鍾的早期版本。

幾何學有悠久的歷史。最古老的歐氏幾何基於一組公設和定義，人們在公設的基礎上運用基本的邏輯推理構做出一系列的命題。可以說，《幾何原本》是公理化系統的第一個範例，對西方數學思想的發展影響深遠。

一千年後，笛卡兒在《方法論》的附錄《幾何》中，將坐標引入幾何，帶來革命性進步。從此幾何問題能以代數的形式來表達。

歐幾里得幾何學的第五公設，由於並不自明，引起了歷代數學家的關注。最終，由羅巴切夫斯基和黎曼建立起兩種非歐幾何。

幾何學的現代化則歸功於克萊因、希爾伯特等人。克萊因在普呂克的影響下，應用群論的觀點將幾何變換視為特定不變數約束下的變換群。而希爾比特為幾何奠定了真正的科學的公理化基礎。應該指出幾何學的公理化，影響是極其深遠的，它對整個數學的嚴密化具有極其重要的先導作用。它對數理邏輯學家的啟發也是相當深刻的。

幾何最早的有記錄的開端可以追溯到古埃及（參看古埃及數學），古印度（參看古印度數學），和古巴比倫（參看古巴比倫數學），其年代大約始於公元前3000年。早期的幾何學是關於長度，角度，面積和體積的經驗原理，被用於滿足在測繪，建築，天文，和各種工藝製作中的實際需要。在它們中間，有令人驚訝的複雜的原理，以至於現代的數學家很難不用微積分來推導它們。例如，埃及和巴比倫人都在畢達哥拉斯之前1500年就知道了畢達哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形稜錐的錐台（截頭金字塔形）的體積的正確公式；而巴比倫有一個三角函數表。

中國文明和其對應時期的文明發達程度相當，因此它可能也有同樣發達的數學，但是沒有那個時代的遺跡可以使我們確認這一點。也許這是部分由於中國早期對於原始的紙的使用，而不是用陶土或者石刻來記錄他們的成就。

古埃及人的幾何學成就，主要有以下兩點

1．每年的雨季，尼羅河水泛濫，淹沒了兩岸的耕地。雨季過後河水退去，留下肥沃的土地，古埃及就開始耕種。為了恢復各人田產的界線，就需要重新丈量，這就使得古埃及人的幾何學逐漸發達起來。

2．古埃及人為死去的法老建造的陵墓金字塔，是由一塊塊巨石砌成的。在長年累月的建造活動中，埃及人的立體幾何學也發展起來，他們能夠把很多塊巨石精確切割之後運到工地，再砌成雄偉的金字塔。石塊之間對接緊密，而且整座金字塔渾然一體，表現出高超的技術水平。

平面幾何

立體幾何

非歐幾何

解析幾何

射影幾何

仿射幾何

微分幾何

計算幾何

公元前3世紀中葉，埃及國王托勒密一世問一位數學家：有沒有不學習《幾何原本》，即可掌握幾何學的捷徑。數學家斷言回答：世界上沒有通向幾何的平易之路。這位數學專家就是《幾何原本》的作者、古希臘大名鼎鼎的歐幾里德。

歐幾里得（Euclid）是古希臘著名數學家、歐氏幾何學的開創者。歐幾里得生於雅典，當時雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當他還是個十幾歲的少年時，就迫不及待地想進入“柏拉圖學園”學習。

一天，一群年輕人來到位於雅典城郊外林蔭中的“柏拉圖學園”。只見學園的大門緊閉著，門口掛著一塊木牌，上面寫著：“不懂數學者，不得入內！ ”這是當年柏拉圖親自立下的規矩，為的是讓學生們知道他對數學的重視，然而卻把前來求教的年輕人給鬧糊塗了。有人在想，正是因為我不懂數學，才要來這兒求教的呀，如果懂了，還來這兒做什麼？正在人們面面相覷，不知是退、是進的時候，歐幾里得從人群中走了出來，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然後果斷地推開了學園大門，頭也沒有回地走了進去。

“柏拉圖學園”是柏拉圖40歲時創辦的一所以講授數學為主要內容的學校。在學園裡，師生之間的教學完全通過對話的形式進行，因此要求學生具有高度的抽象思維能力。數學，尤其是幾何學，所涉及的對象就是與真、普遍而抽象的東西。它們同生活中的事物有關，但是又不來自於這些具體的事物，因此學習幾何被認為是尋求真理的最有效的途徑。柏拉圖甚至聲稱：“上帝就是幾何學家。”這一觀點不僅成為學園的主導思想，而且也為越來越多的希臘民眾所接受。人們都逐漸地喜歡上了數學，歐幾里得也不例外。他在有攀滋入學園之後，便全身心地沉潛在數學王國里。他潛心求索，以繼器柏拉圖的學術為奮鬥目標，除此之外，他哪兒也不去，什麼也不幹。熬翻閱和研究了柏拉圖的所有著作和手稿，可以說，連柏拉圖的親傳攀擎也沒有誰能像他那樣熟悉柏拉圖的學術思想、數學理論。經過對柏拉圖思想的深入探究，他得出結論：圖形是神繪製的，所有一切抽象的邏輯規律都體現在圖形之中。因此，對智慧的訓練，就應該以圖形為主要研究對象的幾何學開始。他確實領悟到了柏拉圖思想的要旨，並開始沿著柏拉圖當年走過的道路，把幾何學的研究作為自學主要任務，並最終取得了世人敬仰的成就。

最早的幾何學興起於公元前7世紀的古埃及，后經古希臘數學家泰勒斯等人傳到古希臘的米利都城，又借畢達哥拉斯學派經典。在歐幾里德以前，人們已經積累了許多幾何學的知識，然而這些知識當中，存在一個很大的缺點和不足，就是缺乏系統性。大多數是片斷、零碎的知識，公理與公理之問、證明與證明之間並沒有什麼很強的聯繫性，更不要說對公式和定理進行嚴格的邏輯論證和說明。因此，隨著社會經濟的繁榮和發展，特別是隨著農林畜牧業的發展、土地開發和利用的增多，把這些幾何學知識加以條理化和系統化，成為一整套可以自圓其說、前後貫通的知識體系，已經是刻不容緩，成為科學進步的大勢所趨。歐幾里德通過早期對柏拉圖數學思想，尤其是幾何學理論系統而周詳的研究，已敏銳地察覺到了幾何學理論的發展趨勢。他下定決心，要在有生之年完成這一工作。為了完成這一重任，歐幾里德不辭辛苦，長途跋涉，從愛琴海邊的雅典古城，來到尼羅河流域的埃及新埠——亞歷山大城，為的就是在這座新興的，但文化蘊藏豐富的異域城市實現自己的初衷。在此地的無數個日日夜夜裡，他一邊收集以往的數學專著和手稿，向有關學者請教，一邊試著著書立說，闡明自己對幾何學的理解，哪怕是尚膚淺的理解。經過歐幾里德忘我的勞動，終於在公元前300年結出豐碩的果實，這就是幾經易稿而最終定形的《幾何原本》一書。這是一部傳世之作，幾何學正是有了它，不僅第一次實現了系統化、條理化，而且又孕育出一個全新的研究領域——歐幾里德幾何學，簡稱“歐氏幾何學”。

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里德個人創造性於一體的不朽之作。傳到今天的歐幾里德著作並不多，然而我們卻可以從這部書詳細的寫作筆調中，看出他真實的思想底蘊。

全書共分13卷。書中包含了5條“公理”、5條“公設”、23個定義和467個命題。在每一卷內容當中，歐幾里德都採用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設和定義，然後再由簡到繁地證明它們。這使得全書的論述更加緊湊和明快。而在整部書的內容安排上，也同樣貫徹了他的這種獨具匠心的安排。它由淺到深，從簡至繁，先後論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數、立體幾何以及窮竭法等內容。其中有關窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來源。僅僅從這些卷帙的內容安排上，我們就不難發現，這部書已經基本囊括了幾何學從公元前7世紀的古埃及，一直到公元前4世紀——歐幾里德生活時期——前後總共400多年的數學發展歷史。這其中，頗有代表性的便是在第1卷到第4卷中，歐幾里德對直邊形和圓的論述。正是在這幾卷中，他總結和發揮了前人的思維成果，巧妙地論證了畢達哥拉斯定理，也稱“勾股定理”。即在一直角三角形中，斜邊上的正方形的面積等於兩條直角邊上的兩個正方形的面積之和。他的這一證明，從此確定了勾股定理的正確性並延續了2000多年。《幾何原本》是一部在科學史上千古流芳的巨著。它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學理論，而且通過歐幾里德開創性的系統整理和完整闡述，使這些遠古的數學思想發揚光大。它開創了古典數論的研究，在一系列公理、定義、公設的基礎上，創立了歐幾里德幾何學體系，成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典範。照歐氏幾何學的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而且為真的基本命題即公理演繹出來的。在這種演繹推理中，對定理的每個證明必須或者以公理為前提，或者以先前就已被證明了的定理為前提，最後做出結論。這一方法後來成了用以建立任何知識體系的嚴格方式，人們不僅把它應用於數學中，也把它應用於科學，麗且也應用於神學甚至哲學和倫理學中，對後世產生了深遠的影響。儘管歐幾里德的幾何學在差不多2000年間，被奉為嚴格思維的幾乎無懈可擊的範例，但實際上它並非總是正確的。人們發現，一些歐幾里德作為不證自明的公理，卻難以自明，越來越遭到懷疑。比如“第五平行公理”，歐幾里德在《幾何原本》一書中斷言：“通過已知外一已知點，能作且僅能作一條直線與已知直線平行。”這個結果在普通平面當中尚能夠得到經驗的印證，那麼在無處不在的閉合球面之中（地球就是個大麴面）這個平行公理卻是不成立的。前俄國人羅伯切夫斯基和德國人黎曼由此創立了球面幾何學，即取幾里得幾何學。

歐幾里德不僅是一位學識淵博的數學家，同時還是一位有“溫和仁慈的藹然長者”之稱的教育家。在著書育人過程中，他始終沒有忘記當年掛在“柏拉圖學園”門口的那塊警示牌，牢記著柏拉圖學派自古承襲的嚴謹、求實的傳統學風。他對待學生既和藹又嚴格，自己卻從來不宣揚有什麼貢獻。對於那些有志於窮盡數學奧秘的學生，他總是循循善誘地予以啟發和教育，而對於那些急功近利、在學習上不肯刻苦鑽研的人，則毫不客氣地予以批評。在柏拉圖學派晚期導師普羅克洛斯的《幾何學發展概要》中，就記載著這樣一則故事，說的是數學在歐幾里德的推動下，逐漸成為人們生活中的一個時髦話題（這與當今社會截然相反），以至於當時托勒密國王也想趕這一時髦，學點兒幾何學。雖然這位國王見多識廣，但歐氏幾何卻在他的智力範圍之外。於是，他問歐幾里德，學習幾何學有沒有什麼捷徑可走歲歐幾里德嚴肅地說：“抱歉，陛下！學習數學和學習一切科學一樣，是沒有什麼捷徑可走的。學習數學，人人都得獨立思考，就像種莊稼一樣，不耕耘是不會有收穫的”。在這一方面，國王和普通老百姓是一樣的。”

歐幾里德是人類科學思想史上的一盞指路明燈。他第一次使數學理論系統化，並使幾何學逐漸成為一門獨立發展的正式學科體系。他對數學史上的許多疑難命題和定理做了開創性的論證和解釋，為數學的發展打下了堅實的理論基礎，而他在理論中存在的硬撼，也成為後人攀越智慧高峰不可缺少的台階。這一正一反都推動了人類數學思想的進步，從而為後來人類能更好、更深刻地認識自然界提供了更為有效的工具。因此，後人尊稱他為“幾何學之父”，以銘記他在數堂胃相中卜的卓越貢獻。

我們已無法考察歐幾里德的生世，只知道他給這個世界上留了一本書與兩句話，其中一句話是面對一位青年關於幾何學的問題，這個青年問：你的幾何學有何用處。他的回答是：“請給這個小夥子3個硬幣，因為他想從幾何學里得到實際利益。”由此可知，歐幾里德也是一位偉大的哲學家！

楊振寧曾發表演說，認為現代科學沒有發生在中國而是發生在西方，正是因為《幾何原本》和《周易》所產生的影響。這種影響直接導致了兩種思維方式、兩種文化。楊振寧的講演曾經引起力挺《周易》學者的強烈不滿。然而同樣是中華文化的支持者聶文濤卻認為，歐幾里德所導致的直觀思維導致西方學者熱衷於解剖研究和物體運動軌跡研究，因此會有兩部影響世界的圖書問世，這就是《心血運動論》和《天體運行論》。然而，東方思維下將會更有利於對生命的尊重和理解，因此一旦與現代科技相融合則必然會引發生命科學領域的巨大發展。

總之，歐幾里德所產生的影響超越了時間和空間，並將在可以預見的未來中不斷發生影響。

幾何學的簡潔美卻又正是幾何學之所以完美的核心存在。——牛頓

幾何看來有時候要領先於分析，但事實上，幾何的先行於分析，只不過像一個僕人走在主人的前面一樣，是為主人開路的。——西爾維斯特

分形幾何不僅展示了數學之美，也揭示了世界的本質，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學，對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域。——周海中

笛卡兒的解析幾何於牛頓的微積分已被擴張到羅巴切夫斯基、黎曼、高斯和塞爾維斯托的奇異的數學方法中。事實上，數學不僅是各門學科所必不可少的工具，而且它從不顧及直觀感覺的約束而自由地飛翔著。——尼古拉斯·默里·巴特勒