測圓海鏡

《測圓海鏡》所討論的問題大都是已知勾股形而求其內切圓、旁切圓等的直徑一類的問題。勾股形的解法是 中國古代數學的重要內容之一。

此外，在中國古代數學的發展中，天元術起著重要的作用。在《測圓海鏡》問世之前，我國雖有文字代表未知數用以布列方程和多項式的工作，但是沒有留下很有系統的記載。李冶在《測圓海鏡》中系統而概括地總結了天元術，使文詞代數開始演變成符號代數。

所謂天元術，就是設“天元一”為未知數，根據問題的已知條件，列出兩個相等的多項式，經相減后得出一個高次方程式，稱為天元開方式，這與現代設x為未知數列方程一樣。歐洲的數學家，只有到了16世紀以後才完全做到這一點。《測圓海鏡》全書170 題，基本上都是（依據《識別雜記》）列出天元式，求出勾股容圓問題的解。

李冶在40歲時便放棄功名，終生從事數學研究。他反對象數神秘主義，認為數學來自客觀的自然界，這些觀點反映在他自己寫的“《測圓海鏡》”序中，這在當時是十分可貴的，也是他在數學上取得重大成就的主要因素之一。清代阮元認為《測圓海鏡》是“中土數學之寶書”，李善蘭稱讚它是“中華算書實無有勝於此者”。

《測圓海鏡》不僅保留了洞圓九容公式，即9種求直角三角形內切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式。卷一的"識別雜記"闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關係以及它們與圓徑的關係，共六百餘條，每條可看作一個定理（或公式），這部分內容是對中國古代關於勾股容圓問題的總結。後面各卷的習題，都可以在“識別雜記”的基礎上以天元術為工具推導出來。李冶總結出一套簡明實用的天元術程序，並給出劃分式方程為整式方程的方法。他發明了負號和一套先進的小數記法，採用了從零到九的完整數碼。除O以外的數碼古已有之，是籌式的反映。但籌式中遇O空位，沒有符號O。從現存古算書來看，李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數書九章》是較早使用O的兩本書，它們成書的時間相差不過一年。《測圓海鏡》重在列方程，對方程的解法涉及不多。但書中用天元術導出許多高次方程（最高為六次），給出的根全部準確無誤，可見李冶是掌握高次方程數值解法的。

《測圓海鏡》數學上的成就有三點：“天元術”，即列方程解決問題的一種“機械化”程序，相當於現代設x為未知數列方程的方法，這是一項具有世界意義的創舉；勾股形解法，把傳統的勾股形研究推進到一個新的層次；數學抽象化的新起點：此書雖然形式上仍採用問題集的表述方式，但問題顯然已不是從實際生活中得來的，而是出於數學研究的需要產生的，只是出於傳統，披上了“實用”的外衣，這對中國古代數學無疑是一種重要的突破和補充，就內容看，給出了一些專門的概念和公式(“識別雜記”)，採用了演繹推理的方法等，在中國數學思想發展中佔有重要的地位。

李冶(1192-1279)是中國古代數學家，字仁卿，號敬齋，真定府欒城縣（今河北省欒城縣）人，宋元數學四大家之一。

李冶生於大興（今北京市大興縣），父親李通為大興府推官。李冶自幼聰敏，喜愛讀書，曾在元氏縣（今河北省元氏縣）求學，對數學和文學都很感興趣。《元朝名臣事略》中說：“公（指李冶）幼讀書，手不釋卷，性穎悟，有成人之風。”

李冶一生著作雖多，但他最得意的還是《測圓海鏡》．他在彌留之際對兒子克修說：“吾平生著述，死後可盡燔去．獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數，吾常精思致力焉，後世必有知者．庶可布廣垂永乎？”

李冶的數學研究是以天元術為主攻方向的．這時天元術雖已產生，但還不成熟，就像一棵小樹一樣，需要人精心培植．李冶用自己的辛勤勞動，使它成長為一棵枝葉繁茂的大樹．

李冶作為一個有成就的數學家，在 治學態度方面，具有與古往今來的科學家所共有的精神，也有其獨特之點：

1.在極端艱苦的條件下堅持科學研究，從不間斷自己的工作。李冶處在一個動蕩不定的時代，特別是棄官隱居以後，從事科學研究的環境是十分艱苦的，常常饑寒至不能自存，但仍處之泰然，以講學著書為樂。對於數學研究，他也是下過苦功的，他在病危時對其子克修說：“測圓海鏡一書，雖九九小數，五常精思致力焉，後世必有知者”。

2.堅持科學真理，不為閑言蜚語所動搖數學研究在當時社會是被輕視的，李冶的工作很少得到當時學者的理解。《測圓海鏡》和《益古演段》兩書，是在他逝世后三十年才得以付印的。

3.善於接受前人知識，取其精華。有人問學於李冶，李冶回答說：“學有三：積之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深”。這就是說，要去其糟粕，取其精華，並使它成為自己的東西。

4.反對文章的深奧化和庸俗化，主張文章是為別人，而不是為自己。李冶在《益古演段》序中說：“今之算者，未必有劉（徽）李（淳風）之工，而編心踞見，不肯曉然示人唯務隱互錯揉故為溪滓黯哭，唯恐學者得窺其彷彿也。”他的《益古演段》就是這種主張下的著作。

縱觀李冶一生，不管是在為人上還是在學術上，都不愧為一代楷模．他在任鈞州知事期間，為官清廉、正直，親自掌管出納，一絲不苟．據載，鈞州城的出納“無規撮之誤”．在當時動亂的環境中，像李冶這樣的清官確實是難能可貴的．李冶在《敬齋古今黈》中說：“好人難做須著力”，又說：“著力處政是聖賢階級”，這正是他為人做官的寫照．他同情人民，面對蒙古軍隊的屠殺和搶掠，不僅在詩文中表現了極大的憤慨，而且在見忽必烈時，力勸蒙古統治者“止征伐”．他一生熱愛科學，追求自由，決不負辱求名．在學術上不迷信名家，敢於突破傳統觀念的束縛．他雖是通儒出身，但當他認識到數學的重要性時，便專攻數學，這種行動本身就是對傳統儒學的批判，因為在儒家看來，數學“可以兼明，不可以專業”．當時盛行的新儒學——程朱理學，甚至把研究科技看作“玩物喪志”，把數學說成“九九賤技”．李冶毫不客氣地批評了這些錯誤觀點，指出在朱熹的著述中“窒礙之處亦不可以毛舉也”．

值得注意的是，李冶的思想深受道家影響．道家崇尚自然，這無疑是有利於把人們的眼光引向自然科學的．莊子的自然觀甚至成為李冶抵制唯心主義理學的思想武器．他說：“由技兼於事者言之，夷之禮，夔之樂，亦不免為一技；由技進乎道者言之，石之斤，肩之輪，非聖人之所與乎？”(夷，黃帝臣名；夔，舜臣名．石，扁，均為古工匠名)這就是說，從技藝用於實際來說，聖人所作的禮和樂也可看作一種技藝；從技藝中包含自然規律(即“道”)來說，工匠使用的工具也是聖人所讚賞的．如果我們把李冶的話同莊子所說的“道者，萬物之所由也．……道之所在，聖人尊之”聯繫起來，李冶受莊子思想的影響是一目了然的．很明顯，他認為數學這種技藝也是“道之所在”，也應受到尊重．

李冶還認為，數雖奧妙無窮，卻是可以認識的，他說：“謂數為難窮，斯可；謂數為不可窮，斯不可．何則？彼其冥冥之中，固有昭昭者存．夫昭昭者，其自然之數也．非自然之數，其自然之理也．”李冶的這一思想，也可以從老莊學說找到淵源．莊子說：“夫昭昭生於冥冥，有倫生於無形．”老子說：“人法地，地法天，天法道，道法自然”，“道之尊，德之貴，夫莫之命而常自然．”正是由於對自然的深刻理解，李冶進一步指出：“數一出於自然，吾欲以力強窮之，使隸首復生，亦末如之何也已．苟能推自然之理，以明自然之數，則雖遠而乾端坤倪，幽而神情鬼狀，未有不合者矣．”

李冶不僅有比較先進的哲學思想，而且能在極為艱苦的條件下進行頑強的科學研究．他在桐川著書時，居室十分狹小，甚至常常不得溫飽，要為衣食而奔波．但他卻以著書為樂，從不間斷自己的工作．他的學生焦養直說他“雖饑寒不能自存，亦不恤也”，在“流離頓挫”中“亦未嘗一日廢其業”，“手不停披，口不絕誦，如是者幾五十年”．另外，他還善於去粗取精，批判地接受前人知識，正如他自己所說：“學有三，積之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深．”這些優良品質，都是李冶在學術上取得傑出成就的重要原因．

李冶時代，數學不受重視．但李冶卻執著地追求真理，他在《測圓海鏡序》中說：“覽吾之編，察吾苦心，其憫或者當百數，其笑我者當千數．乃若吾之所得則自得焉耳，寧復為人憫笑計哉？”李冶不僅學術精深，而且致力於傳徒授業，對學生循循善誘．後人盛讚李冶“導掖其秀民，仁之至也．其徒卒昌於時，孰不曰文正公所作成也”(文正為李冶謚號)．李冶以自己的畢生心血，在中國科學史上寫下了光榮的一頁，被人們深深懷念著．第一卷

《測圓海鏡》由卷一的 圓城圖式、說明各個長度名稱的 總率名號、給出各個長度數值的 今問正數、囊括了各個量之間關係的公式總集 識別雜記；卷二至卷十二，共一百七十個問題及其解答所組成。書中一共有148問，182種方法是以天元術列出方程以求解，其中列出一次方程31個，二次方程106個，三次方程24個，四次方程20個，六次方程1個

圓城圖式（右圖）是全書的總括圖解，由一個直角三角形（古時稱為勾股形）、它的內切圓以及一些特定的點和直線組成。其中的頂點、圓心和交點都用某個漢字來指代。最大的三角形的三個頂點分別是 天、地、乾，天地乾三角形的內切圓圓心稱為 心。過 心的垂直線從上至下分別和三角形、內切圓交於 日、南、北三點。過 心的水平線從左至右分別和三角形、內切圓交於 川、東、西三點。過 東的垂直線和過 南的水平線都是內切圓的切線，它們分別交 天地乾三角形於 艮、坤、三、月四點，而相交於 巽點。乾坤巽艮構成一個正方形。過 月的垂直線交 東西水平線於 青點，交 地乾邊於 泉點。過 山的水平線交 南北垂直線於 朱點，交 天乾邊於 金點。而這兩條線相交於 泛點。最後過 日的水平線交 天乾邊於 旦點，過 川的垂直線交 地乾邊於 夕點。總共22個點。

全書所研究的三角形一共有15個，全部是以 天地線之間的線段為弦（斜邊）的直角三角形。總率名號給出了這些三角形和線段的名稱。它們分別是：

其中弦是三角形斜邊，股是三角形的長直角邊（這裡是豎直的），勾是三角形短直角邊（這裡是水平的）。（代表通勾，代表通股，代表通弦，余類推）。

今問正數一節給出了圓城圖式中每個線段的長度。其中以內切圓的半徑為120步，作為標準。

1.:弦

2.:勾

3.:股

4.:勾股和：a+b

5.:勾股校：b-a

6.:勾弦和：a+c

7.:勾弦校：c-a

8.:股弦和：b+c

9.:股弦校：c-b

10.:弦校和：c+(b-a)

11.:弦校校：c-(b-a)

12.:弦和和：（a+b)+c

13.:弦和校：（a+b)-c

例子:“通弦六百八十，勾三百二十，股六百；勾股和九百二十，較（兩者的差）二百八十；勾弦和一千，較三百六十；股弦和一千二百八十，較八十；弦較和九百六十，較四百；弦和和一千六百，較二百四十。”

15個勾股形中上高 = 下高；上平=下平，因此，15個勾股形中，只有13個勾股形是相異的。

《今問正數》共15個勾股形×13項=195項。 ，列表如下。

識別雜記都是關於不同線段之間的幾何關係式。一共給出了692個公式。是全書的綱領。

識別雜記包含八項：

• 諸雜名目：是全書的總綱，列出各項定義，例如虛勾虛股相得名為虛率，高股平勾差名為角差，又名遠差等等。諸雜名目中還列出三十餘項定理，如凡大差小差相乘為半段徑冪，大差勾小差股相乘同上、黃廣股黃長勾相乘為經冪等等。

名目

新設第一率

新設第二率

新設第三率

新設第四率

雜用公式

五和五校

從第二卷開始，《測圓海鏡》中一共出現了一百七十個問題，它們都是圍繞著同一個題設背景而展開。

在第二卷開頭，李冶作出了以後題目公用的總假設：

“假令圓城一所，不知周徑，四面開門，門外縱橫各有十字大道。其西北十字道頭定為乾地，其東北十字道頭定為艮地，其東南十字道頭定為巽地，其西南十字道頭定為坤地。所有測望雜法，一一設問如后”

這裡的圓城就是指'''天地乾'''三角形的內切圓，其方向按照圓城圖式裡面'''東南西北'''四個點的位置而定（注意北在下方，東在左邊，與現在通用的方位相反），所謂的“乾地”、“坤地”則是指圓城圖式裡面出現的'''乾'''點、'''坤'''點等等。以後的每個問題中要求的長度都是圓城的半徑或直徑。

接下來的問題都是已知某些線段的長度，問圓城的半徑或直徑。李冶在每一題的題目之後都先寫出解法（代數演算），再給出演草（代入數值的計算）。

開頭十個問題，不需要天元方程。清代數學[[李善蘭]]認為，第一個問題和《[[九章算術]]》的勾股容圓題目一樣，第二問至第十問就是《自序》中提到的“洞淵九容”李冶《自序》“老大以來，得洞淵九容之說，日夕玩繹，而向之病我者，使爆然落去而無遺餘”。但李冶原書或《四庫全書》李銳較本都沒有這九個問題的細草，李善蘭在《天算或問》一書中根據相似三角形原理求得各式，並以第二問為例闡明如下

又因：

所以

:得

其餘類推。

。

;第一問：''或問：甲乙二人俱在乾地，乙東行三百二十步而立。甲南行六百步望見乙，問徑幾里？''

:答曰：城徑二百四十步。

第二問：勾上容圓

;第三問：股上容圓

;第四問：勾股上容圓

;第五問：弦上容圓

;第六問：勾外容圓

;第七問：股外容圓

;第八問：弦外容圓

;第九問：勾外容圓半

;第十問：股外容圓半

從第十四題開始，引入'''[[天元術]]'''，將所求的未知量設為“'''天元'''”，然後根據'''識別雜記'''中給出的公式構造出兩個天元式，另其相等，然後解方程得出答案。《測圓海鏡》中天元式的次序，高次冪在常數項之上，和《益古演段》，《四元玉鑒》的相反。

;第十四問

“或問出西門南行四百八十步有樹，出北門東行二百步見之。問答同前”。

:法曰：以二行步相乘為實，二行步相併為從，一步常法，得半徑。

:草曰：立天元一為半徑，置南行步在地，

內減天元半徑得股圓差：

又置乙東行步在地，內減天元，得勾圓差：

:

:

以勾圓差增乘股圓差得半段黃方冪：

:

又置天元冪以倍之，也為半段黃方冪；

因此，得

相消得：

解方程，得

已知及另一邊求直徑d。

第三卷邊股問與第四卷同次第底勾問成對偶。

1-11，13-19已知a_{1}，及另一邊求直徑d.

12問：已知 及兩邊，求直徑。 [6]

求直徑d

• 已知 三至八邊，或其差，和，求直徑d.

註：家藏李冶所著《測圓海鏡》四本12卷（清同治刻本）。又藏“敬齋”銅印一方，中空，蓋為“子母印”中的“母印”，印方八分、高六分，頂獅鈕高六分，印文為朱文“敬齋”二字，篆體。

考“敬齋”銅印：或為李冶之印，以印配書，可謂雙絕；或為明代胡居仁之印。胡居仁（1434—1484），字叔心，號敬齋，江西余幹人，著《居業錄》，一生以講學為業，師事吳與弼。