分數布朗運動

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1 布朗運動及其在金融市場的應用

1.1 布朗運動與EMH

布朗運動指的是一種無相關性的隨機行走，滿足統計自相似性，即具有隨機分形的特徵。其軌跡處處沒有切線；粒子移動互不相關。

原始意義的布朗運動 (Brownian motion，BM)是Robert Brown於1827年提出，系指液體中懸浮微粒的無規則運動, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正確的定性分析：布朗粒子的運動，實際上是由於受到周圍液體分子的不平衡碰撞所引起的。1905年，A. 愛因斯坦對這種“無規則運動”作了物理分析，成為布朗運動的動力論的先驅，並首次提出了布朗運動的數學模型。1908年，P. 朗之萬在研究布朗運動的漲落現象時, 給出了物理學中第一個隨機微分方程。1923年，諾伯特‧維納 (Norbert Wiener)提出了在布朗運動空間上定義測度與積分，從而形成了Wiener空間的概念，並對布朗運動作出了嚴格的數學定義，根據這一定義，布朗運動是一種獨立增量過程，是一個具有連續時間參數和連續狀態空間的隨機過程(Stochastic Process)。維納過程是馬爾科夫過程(Markov process)的一種特殊形式，而馬爾科夫過程又是一種特殊類型的隨機過程。數學界也常把布朗運動稱為維納過程(Wiener Process)。如穩定的Levy分佈。如今布朗運動在理論上與應用上已與帕松過程 (Poisson process) 構成了兩種最基本的隨機過程。

1.2 布朗運動在金融市場的應用

將布朗運動與股票價格行為聯繫在一起，進而建立起維納過程的數學模型是本世紀的一項具有重要意義的里程碑，在現代金融數學中佔有重要地位。迄今，普遍的觀點仍認為，股票市場大部分力量是隨機波動的，隨機波動是股票市場最根本的特性和 最大的力量，是股票市場的常態。

1900年法國的巴施利葉（Louis Bachelier）在博士論文《投機理論》中將股票價格的漲跌也看作是一種隨機運動，所得到的方程與描述布朗粒子運動的方程非常相似。第一次給予布朗運動以嚴格的數學描述。但由此得到的股票價格可能取負值，顯然與實際不符。Markowiz(1952)發表投資組合選擇理論；Roberts和Osborne(1959)把隨機數遊走和布朗運動的概念帶入股市研究；Samuelson和Fama(1970)的有效市場理論(EMH)；Fischer Black和Scholes(1973)和Merton(1973,1992)的期權定價理論（Black-Scholes模型）；Ross (1976)的套利定價理論(APT)。

布朗運動假設是現代資本市場理論的核心假設。現代資本市場理論認為證券期貨價格具有隨機性特徵。這裡的所謂隨機性，是指數據的無記憶性，即過去數據不構成對未來數據的預測基礎。同時不會出現驚人相似的反覆。股價行為模型通常用著名的維納過程來表達。假定股票價格遵循一般化的維納過程是很具誘惑力的，也就是說，它具有不變的期望漂移率和方差率。但是當人們開始採用分形理論研究金融市場時，發現它的運行並不遵循布朗運動，而是服從更為一般的分數布朗運動。

2 分數布朗運動與分形資本市場

2.1 分數布朗運動

世界是非線性的，宇宙萬物絕大部分不是有序的、線性的、穩定的，而是混沌的、非線性的、非穩定和漲落不定的沸騰世界。有序的、線性的、穩定的只存在於我們自己構造的理論宮殿，而現實宇宙充滿了分形。在股票市場的價格波動、心率及腦波的波動、電子元器件中的雜訊、自然地貌等大量的自然現象和社會現象中存在著一類近乎全隨機的現象，它們具有如下特性：在時域或空域上有自相似性和長時相關性和繼承性；在頻域上，其功率譜密度在一定頻率範圍內基本符合1/f的多項式衰減規律。因此被稱為1/f族隨機過程。Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分數布朗運動(fractional Brownian motion，FBM)模型是使用最廣泛的一種，它具有自相似性、非平穩性兩個重要性質，是許多自然現象和社會現象的內在特性。分數布朗運動被賦予不同的名稱，如分形布朗運動、有偏的隨機遊走(Biased Random walk)、分形時間序列(Fractional time serial)、分形維納過程等。其定義如下：

設0< H<1，Hurst參數為H的分數布朗運動為一連續Gaussian過程，且，協方差為。 H=1/2時，即為標準布朗運動。

分數布朗運動特徵是時間相關函數C(t)≠0,即有持久性或反持久性，或者說有“長程相關性”,不失一般性，可以給出一維情形的布朗運動及分數布朗運動的定義。分數布朗運動既不是馬爾科夫過程，又不是半鞅，所以不能用通常的隨機來分析。分數布朗運動與布朗運動之間的主要區別為：分數布朗運動中的增量是不獨立的，而布朗運動中的增量是獨立的；分數布朗運動的深層次上和布朗運動的層次上它們的分維值是不同的，分數布朗運動（分形雜訊）的分維值alpha等於1/H， H為Hurst指數，而布朗運動（白雜訊）的分維值都是2。

Hurst在一系列的實證研究中發現，自然現象都遵循“有偏隨機遊走”，即一個趨勢加上雜訊，並由此提出了重標極差分析法(Rescaled Range Analysis， R/ S分析)。設 R/ S表示重標極差， N表示觀察次數， a是固定常數， H表示赫斯特指數，在長達40多年的研究中，通過大量的實證研究，赫斯特建立了以下關係:

R/S=(aN)H

通過對上式取對數，可得：

log(R/S)=H(logN十loga)

只要找出R/S關於N的log/log圖的斜率，就可以來估計H的值。 Hurst指數 H用來度量序列相關性和趨勢強度：當 H=0.5時，標準布朗運動，時間序列服從隨機漫步；當 H≠0.5時, C( t)≠0，且與時間無關，正是分數布朗運動的特徵。當0.5< H<1時，序列是趨勢增強的，遵循有偏隨機遊走過程；當0< H<0.5時，序列是反持續性的。可以看出，Hurst指數能夠很好地刻畫證券市場的波動特徵，將 R/ S分析應用於金融市場，可以判斷收益率序列是否具有記憶性，記憶性是持續性的還是反持續性的。所以，分數布朗運動是複雜系統科學體系下的數理金融學的一個合適的工具，作為對描述金融市場價格波動行為模型的維納過程的一般化、深刻化具有重要的理論與現實意義。

2.1 分形資本市場

自然界不是一個重複模式的序列，它的特點是局部的隨機性和全局的秩序。每一個存在於實際生活中的分形都是在細節上不同而在整體概念上類似的。現實世界中的分形與全局由統計結構所控制，同時又保持局部的隨機性。而實際上，大多數人在接到信息時並不馬上做出決策，他們會等著確認信息，且不等到趨勢已經十分明顯就不做出反應。這樣，因證實一個趨勢所需的確認信息的時間不同，對於學習的不均等的消化可能會導致一個有偏的隨機遊動。曼德勃羅特稱這種隨機遊動為分數布朗運動。這也就是說，金融市場服從分數布朗運動，有效市場理論所言僅僅是分形分佈的一種特殊情形。分數布朗運動是對具有分形特徵的自然現象的高階逼真，而金融市場的價格波動行為正是具備分形特徵的現象，如自相似性，無特徵長度，有精細結構，或局部以某種方式與整體相似。彼得斯(Peters)就利用上述方法，在《資本市場的混沌與秩序》中證明了資本市場是分形市場。事實上，證券市場中收益率明顯存在自相似性：日、周和月收益率圖形根本難以區分。另外，他還用相關維方法分析了美國、英國和日本的股票市場指數的分形特徵，發現美、英、德的股票市場指數分形維都在2與3之間，這意味著對於經濟學系統的股票系統可以用三個變數來建立動力學模型。最後他得出結論：大多數資本市場價格走勢實際上是一個分形時間序列，分形時間序列是以長期記憶過程為特徵的，它們有循環和趨勢雙重特徵。信息並沒有像EMH所描述的那樣會立即被反映在價格中。所以將趨勢和隨機運動兩者聯繫起來會使我們進入一個全新的領域。

Edgar E·Peters(1996)提出了分形市場假說（Fractal Market Hypothesis , FMH）。分形市場假說強調了流動性的影響以及基於投資者行為之上的投資起點，其目的是給予一個符合我們觀察的投資者行為和市場價格運動的模型。Peters應用R/S分析法分析了不同資本市場（如股市收益率、匯率），都發現了分形結構和非周期循環(Nonpelriodic Cycles)，證明資本市場是非線性系統。徐龍炳、陸蓉(1999)對滬深兩市進行了R/S分析，其Hurst指數分別為0.661和0.643，周期為195天；徐緒松等 (2004) 指出穩定的Levy分佈作為R/S分析的理論基礎有重大缺陷，分析了分數布朗運動與R/S分析在含義和邏輯上的緊密聯繫，提出了分數布朗運動是R/S分析的理論基礎的觀點。

分形理論藉助定量參數分維數來描述系統的分形特徵，揭示隱藏在複雜現象背後的規律，以及局部與整體之間的本質聯繫。靜態分維數在計算中沒有引入時間因素，如Hausdrff維數、合維數、信息維數等，均為系統中某一常數。動態分維數（都興富，1994）則是在考慮隨時間而變化的基礎上計算普通函數和迭代函數的分維數。運用動態分維數可以對股票期貨價格行為的臨界點（轉捩點）進行辨識且效果較好。如侯曉鴻和李一智等(1999) 首次應用分形理論的動態分維數研究期貨價格行為，對期貨價格曲線上峰和谷點進行了辨識，進而判別期價的走勢和預測反轉。我們應用動態分維數建立了不動點（轉捩點）的非線性動態規劃模型（見本專題文章“基於鞅與不動點的非線性動態規劃投機原理”）。

結語

廣義的布朗運動是研究和發展數理金融學的基石。布朗運動的理論構築了金融經濟學（數理金融學）的完整體系，而分數布朗運動為在複雜系統科學體系下揭示金融市場價格波動的規律創造了契機，使金融經濟學研究向一個嶄新的領域——分形維數理金融學拓展。